Question

图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C'D'E'叠放在一起（C与C'重合）。
（1）操作：固定△ABC，将△C'D'E'绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；
探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论。
（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；
请问：经过多少时间，△PQR与△ABC重叠部分的面积恰好等于？
（3）操作：图1中△C'D'E'固定，将△ABC移动，使顶点C落在C'E'的中点，边BC交D'E'于点M，边AC交D'C'于点N，设∠ACC'=α（30°＜α＜90，图4）；
探究：在图4中，线段C'N·E'M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C'N·E'M的值，如果有变化，请你说明理由。

Answer 1

解：（1）BE=AD 证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形
∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB，CE=CD
∴∠BCE=∠ACD
∴△BCE≌△ACD ∴ BE=AD（也可用旋转方法证明BE=AD）
（2）设经过x秒重叠部分的面积是，如图3在△CQT中
∵∠TCQ=30° ∠RQP=60° ∴∠QTC=30° ∴∠QTC=∠TCQ
∴QT=QC=x  ∴ RT=3-x
∵∠RTS+∠R=90° ∴∠RST=90°
由已知得×3² -（3-x）²=
x₁=1，x₂=5，因为0≤x≤3，所以x=1
答：经过1秒重叠部分的面积是
（3）C'N·E'M的值不变
证明：∵∠ACB=60°  ∴∠MCE'+∠NCC'=120°
∵∠CNC'+∠NCC'=120° ∴∠MCE'=∠CNC'
∵∠E'=∠C'   ∴△E'MC∽△C'CN
∴   ∴C'N·E'M=C'C·E'C=×=