Question

已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，
（1）如图1，若AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需要添加的条件是（只须写出两种不同情况）①

EF⊥AB

或②

∠EAC=∠B

．
（2）如图2，若AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，试说明EF是⊙O的切线．

Answer 1

分析：（1）添加条件EF⊥AB，根据切线的判定推出即可；添加条件∠EAC=∠B，根据直径推出∠CAB+∠B=90°，推出∠EAC+∠CAB=90°，根据切线判定推出即可；
（2）作直径AM，连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠EAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．

解答：（1）解：添加的条件是①EF⊥AB，
理由是∵EF⊥AB，OA是半径，
∴EF是⊙O的切线；
②∠EAC=∠B，
理由是：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∵∠EAC=∠B，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
∴EF⊥AB，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O的切线；

（2）解：
作直径AM，连接CM，
即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∵∠EAC=∠B，
∴∠EAC=∠M，
∵AM是⊙O的直径，
∴∠ACM=90°，
∴∠CAM+∠M=90°，
∴∠EAC+∠CAM=90°，
∴EF⊥AM，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．