Question

21、（1）现有一个19°的“模板”（图），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来．
（2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上面画出一个1°的角来？
（3）用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？
对（2）、（3）两问，如果能，请你简述画法步骤，如果不能，请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）在平面上取一点O，过O点画一条直线AOB，以19°模板顶点与O重合，一边与OB射线重合，另一边落在射线OB₁，仍以O为顶点，角一边重合于OB₁，另一边落在射线OB₂，这样做出19个19°的角，其总和为361°，即可求解．
（2）利用17°角的模板，要画出1°的角，关键在于找到整数m和n，使得17×m-180×n=1．
（3）利用21°角的模板，要画出1°的角，关键在于找到整数m和n，使得21×m-180×n=1．

解答：解：（1）在平面上取一点O，过O点画一条直线AOB，以19°模板顶点与O重合，一边与OB射线重合，另一边落在射线OB₁，仍以O为顶点，角一边重合于OB₁，另一边落在射线OB₂，这样做出19个19°的角，其总和为361°，
∠BOB₁₉就是1°角；

（2）利用17°角的模板，要画出1°的角，关键在于找到整数m和n，使得17×m-180×n=1．
事实上17×53-180×5=901-900=1．
所以做法如下：
在平面上任取一点O，过O点画直线AOB，以OB为始边．O为顶点，反时针方向依次画53个17°的角，设最后的终边为OB₅₃，而5×180°的终边在OA射线，这时∠AOB₅₃即为1°的角；

（3）若用21°的模板可以画出1°的角，则存在整数m，n，使得
21°×m-180°×n=1°，此时我们发现，这样的m，n不存在，因此，用21°角的模板和铅笔不能画出1°角来．

点评：本题考查了角的计算，难度较大，关键是找到符合题意的整数m和n．