如图.已知△ABC是边长为6cm的等边三角形.动点P.Q同时从A.B两点出发.分别沿AB.BC方向匀速运动.其中点P运动的速度是1cm/s.点Q运动的速度是2cm/s.当点Q到达点C时.P.Q两点都停止运动．设运动时间为t(s).解答下列问题:(1)当t为何值时.△BPQ为直角三解形,(2)设△BPQ的面积为S(cm2).求S与t的函数关系式,(3)作QR∥BA� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BPQ为直角三解形；
（2）设△BPQ的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式；
（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

分析：（1）分两种情况考虑：（i）当PQ⊥BC时，如图所示，由速度是1厘米/秒，时间是t秒，利用速度×时间=路程表示出AP与BQ的长，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC为等边三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；（ii）当QP⊥AB时，如图所示，由速度是1厘米/秒，时间是t秒，利用速度×时间=路程表示出AP与BQ的长，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC为等边三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值．
（2）根据∠B为60°特殊角，过Q作QE⊥AB，垂足为E，则BQ、BP、高EQ的长可用t表示，S与t的函数关系式也可求；
（3）由题目线段的长度可证得△CRQ为等边三角形，进而得出四边形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，可得出∠QPR=60°，利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值．

解答：解：（1）分两种情况考虑：
（i）当PQ⊥BC时，如图1所示：

由题意可得：AP=tcm，BQ=2t厘米，BP=（6-t）厘米，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°=

，即

6-t

，
解得：t=

（秒）；
（ii）当QP⊥AB时，如图2所示：

由题意可得：AP=tcm，BQ=2t厘米，BP=（6-2t）厘米，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°=

，即

6-t

，
解得：t=3（秒），
综上所述，t=

或3时，△BPQ为直角三解形；

（2）如图3，过Q作QE⊥AB，垂足为E

由QB=2t，得QE=2t•sin60°=

t
由AP=t，得PB=6-t
∴S_△BPQ=

×BP×QE=

（6-t）×

t=-

t²+3

t
∴S=-

t²+3

t；

（3）如图4，∵QR∥BA，
∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°
∴△QRC是等边三角形，
∴QR=RC=QC=6-2t，
∵BE=BQ•cos60°=

×2t=t，
∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t，
∴EP∥QR，EP=QR

，
∴四边形EPRQ是平行四边形，
∴PR=EQ=

t，
又∵∠PEQ=90°，
∴∠APR=∠PRQ=90°，
∵△APR∽△PRQ，
∴∠QPR=∠A=60°，
∴tan60°=

，
即

6-2t

，
解得t=

，
∴当t=

时，△APR∽△PRQ．

点评：此题考查了等边三角形的判定及性质、三角形相似、解直角三角形、函数等知识．利用了分类讨论及方程的思想，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．

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