Question

如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H．
（1）求证：∠BEC=∠ADC；
（2）请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明；
（3）如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用角平分线的性质以及三角形外角的性质得出即可；
（2）首先过点F作FH⊥BC于H．作FG⊥AB于G，连接BF，根据角平分线的性质，可得FH=FG，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，求得∠GEF=75°=∠HDF，又由∠DHF=∠EGF=90°，利用AAS，即可证得△DHF≌△EGF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE=FD；
（3）过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，根据角平分线的性质，可得FN=FM，由∠ABC=60°，即可求得∠MFN=120°，∠EFD=∠AFC=120°，继而求得∠DFM=∠DFE，利用ASA，即可证得△DMF≌△ENF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE=FD．

解答：解：（1）∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠DAC=∠DAB=

1

2

∠BAC=15°，∠ACE=

1

2

∠ACB=45°，
∴∠CDA=∠BAD+∠ABD=75°，∠BEC=∠BAC+∠ECA=75°，
∴∠BEC=∠ADC；

（2）相等，
理由：如图①，过点F作FH⊥BC于H．作FG⊥AB于G，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴HF=FG，∠DHF=∠EGF=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC=15°，
∴∠CDA=75°，
∵∠HFC=45°，∠HFG=120°，
∴∠GFE=15°，
∴∠GEF=75°=∠HDF，
在△DHF和△EGF中，

∠DHF=∠EGF ∠HDF=∠GEF HF=GF

，
∴△DHF≌△EGF（AAS），
∴FE=FD；

（3）成立．
理由：如图②，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，
∴四边形BNFM是圆内接四边形，
∵∠ABC=60°，
∴∠MFN=180°-∠ABC=120°，
∵∠CFA=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠ABC）=180°-

1

2

（180°-60°）=120°，
∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°．
又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，
∴∠DFM=∠NFE，
在△DMF和△ENF中，

∠DMF=∠ENF MF=NF ∠DFN=∠NFE

∴△DMF≌△ENF（ASA），
∴FE=FD．

点评：此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．