Question

12．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，F是BC延长线上一点，且AE=CF，M是EF的中点．
（1）求证：∠EDB=∠EFC；
（2）直线CM是否能垂直平分线段BD？如果能，请给出证明，如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）要证明∠EDB=∠EFC只要证明EBFD四点共圆即可．
（2）连接AC交EF于N，作EH∥BC交AC于H，由△EHN≌△FCN得到N是EF中点．即M、N重合，利用线段AC、BD相互垂直平分调出结论．

解答 （1）证明∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠EAD=∠ADC=∠ABC=∠DCB=∠DCF=90°，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠EAD=∠DCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠ABC+∠EDF=180°，
∴E、B、F、D四点共圆，
∴∠EDB=∠EFC．
（2）结论：CM垂直平分线段BD，理由如下：连接AC交EF于N，作EH∥BC交AC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAH=∠BCA=45°，
∵EH∥BC，
∴∠AHE=∠BCA=45°，∠EHN=∠NCF，
∴∠EAH=∠AHE=45°，
∴AE=EH=CF，
在△EHN和△FCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EHN=∠FCN}\\{∠ENH=∠CNF}\\{EH=CF}\end{array}\right.$，
∴△EHN≌△FCN，
∴EN=NF，
∴N是EF中点，
∴点M、N重合，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CA垂直平分BD，
即CM垂直平分线段BD．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、以及四点共圆等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．