Question

如图，△AOB是等边三角形，点O是坐标原点，点B的坐标为（2，0）
（1）求点A的坐标；
（2）将△ABO绕点A逆时针旋转180°后，求点B的对应点B′的坐标；
（3）将△ABO绕点A逆时针旋转90°后，求点B的对应点B″的坐标．

Answer 1

解：（1）过点A作AC⊥x轴于点C，
∵△ABO是等边三角形，OB=2，
∴OC=1，由勾股定理可得AC=，
∴点A的坐标为（1，）；

（2）连接BB′和B′O，则BB′A在同一直线上，
∵BA=AB′=OA=2，
∴∠BOB′=90°，
∴B′在y轴上，
∵BB′=4，OB=2，
∴OB′=2，
B′的坐标为（0，2）；

（3）如图，由题意可知∠BAB“=90°AB=AB″=2，
∴BB″=2，
作B″E⊥x轴于点E，连接OB″，
∵∠OAB″=90°+60°=150°，
AO=AB″，
∴∠AOB″=15°，
∴∠EOB″=45°，
∴OE=EB″，
设BE=x，
则x²+（x+2）²=（2）．
解得：x₁=-1+，x₂=-1-（不合题意，舍去）
∴OE=B″E=+1，
∴点B″的坐标为（+1，+1）．
分析：（1）作△AOB底边OB上的高AC，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求出A点坐标．
（2）将△ABO绕点A逆时针旋转180°，就是作各点关于A点的对称点，而B′正好在y轴上．
（3）如图找出B″的位置，然后根据绕点A逆时针旋转90°和三角形的性质得到一个二元一次方程组，从而求出BE和B″E的长度，再确定B″的坐标．
点评：本题考查了坐标与图形变化-旋转的综合运用．关键是通过旋转，确定特殊三角形，运用勾股定理求线段长度，确定点的坐标．