Question

已知抛物线顶点D （0，），且经过点A（1，）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点F是坐标原点O关于该抛物线顶点的对称点，坐标为（0，）．我们可以用以下方法求线段FA的长度；过点A作AA₁⊥x轴，过点F作x轴的平行线，交AA₁于A₂，则FA₂=1，A₂A=-=，在Rt△AFA₂中，有FA==．已知抛物线上另一点B的横坐标为2，求线段FB的长；
（3）若点P是该抛物线在第一象限上的任意一点，试探究线段FP的长度与点P纵坐标的大小关系，并证明你的猜想．

Answer 1

解：（1）设抛物线顶点式：y=a（x-h）²+k，
∵抛物线顶点D （0，），且经过点A（1，）．
∴a（1-0）²+=，
解得a=2，
∴这条抛物线的解析式为y=2x²+；

（2）∵点B的横坐标为2，∴点B的纵坐标为，
过点B作BB₁⊥x轴，过点F作x轴的平行线，交BB₁于B₂，
∴FB₂=2，B₂B=-=，
在Rt△BFB₂中，∴FB===．

（3）相等，理由如下：
设点P的坐标为（a，2a²+），
过点P作PP₁⊥x轴，过点F作x轴的平行线，交PP₁于P₂，
∴FP₂=a，P₂P=2a²+-=2a²-，
在Rt△PFP₂中，∴FP====2a²+．
∴线段FP的长度与点P纵坐标相等．
分析：（1）根据题意设抛物线顶点式：y=a（x-h）²+k，再将AD两点代入即可得出这条抛物线的解析式；
（2）先将点B的横坐标代入抛物线解析式，求出纵坐标，过点B作BB₁⊥x轴，过点F作x轴的平行线，交BB₁于B₂，求得FB₂=2，B₂B，在Rt△BFB₂中，由勾股定理求出FB=．
（3）
点评：本题是一道综合性的题目，考查了用待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理二次函数的顶点式等知识点的综合运用，难度较大．