分析 (1)过点E作EG⊥y轴于点G,由三角函数求出∠ECG=30°,再求出∠FCE=90°,即可得出结论;
(2)连接AE,证出AE∥CF,得出四边形AECF是梯形,证出∠AEC=90°,由勾股定理求出CG,由含30角的直角三角形的性质得出OC、CF,图中阴影部分的面积=梯形AECF的面积-扇形ACE的面积,即可得出结果.
解答 解:(1)过点E作EG⊥y轴于点G,如图1所示:
∵点E的坐标为(1,1),
∴EG=1,在Rt△CEG中,sin∠ECG=$\frac{EG}{CE}$=$\frac{1}{2}$,
∴∠ECG=30°,
∵∠OFC=30°,∠FOC=90°,
∴∠OCF=180°-∠FOC-∠OFC=60°,
∴∠FCE=∠OCF+∠ECG=90°,
即CF⊥CE.∵CE是半径,
∴直线CF是⊙E的切线.
(2)连接AE,作EH⊥AB于H,如图2所示:
同(1)得:∠EAH=30°,
∴∠OFC=∠EAH=30°,
∴AE∥CF,
∴四边形AECF是梯形,
∵CF⊥CE,
∴AE⊥CE,
∴∠AEC=90°,
在Rt△CEG中,CG=$\sqrt{CE^2-EG^2}$=$\sqrt{3}$,
∴OC=$\sqrt{3}$+1,
在Rt△OFC中,
∵∠OFC=30°,
∴$CF=2OC=2+2\sqrt{3}$,
∴图中阴影部分的面积=梯形AECF的面积-扇形ACE的面积=$\frac{1}{2}$(AE+CF)×CE-$\frac{90π×C{E}^{2}}{360}$=$\frac{1}{2}$(2+2+2$\sqrt{3}$)×2-$\frac{90π×{2}^{2}}{360}$=4+2$\sqrt{3}$-π.
点评 本题考查了切线的判定、坐标与图形性质、勾股定理、三角函数、含30角的直角三角形的性质、扇形面积的计算等知识;本题综合性强,难度适中.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
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