Question

9．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别是从A、B同时出发，
（1）那么几秒后，△PBQ的面积等于9平方厘米？
（2）那么几秒后，点P与点Q之间的距离可能为5厘米吗？说明理由．
（3）那么几秒后，五边形APQCD的面积最小？最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）设xs后，△PBQ的面积等于9cm²，根据${S_{△PBQ}}=\frac{1}{2}PB•BQ$，列方程求解可得；
（2）由PB²+BQ²=PQ²得（6-x）²+（2x）²=5²，即可判断；
（3）由S_{五边形APQCD}=S_矩形ABCD-S_△PBQ=AB•BC-$\frac{1}{2}$PB•BQ=72-6x+x²=（x-3）²+63，即可得答案．

解答 解：（1）设xs后，△PBQ的面积等于9cm²，
此时，AP=xcm，PB=（6-x）cm，BQ=2xcm．
由${S_{△PBQ}}=\frac{1}{2}PB•BQ$，得  $9=\frac{1}{2}（6-x）•2x$．
解得 x₁=x₂=3．
答：3秒后，△PBQ的面积等于9平方厘米；

（2）点P与点Q之间的距离不可能为5厘米．
由PB²+BQ²=PQ²得（6-x）²+（2x）²=5²，
整理，得 5x²-12x+11=0，
容易判断此方程无实数根．
答：点P与点Q之间的距离不可能为5厘米；

（3）由S_{五边形APQCD}=S_矩形ABCD-S_△PBQ
=AB•BC-$\frac{1}{2}$PB•BQ
=6×12-$\frac{1}{2}$×（6-x）•2x
=72-6x+x²
=（x-3）²+63，
∵（x-3）²≥0，
∴当x-3=0时，即（x-3）²的值为0时是最小值，
∴当x=3时，（x-3）²+63有最小值，此时为63．
答：3秒后，五边形APQCD的面积最小，最小值是63cm²．

点评 本题主要考查二次函数的应用，根据三角形的面积、勾股定理、五边形的面积列出方程或函数解析式是解题的关键．