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(本小题满分10分)

如图1,正方形ABCD和正方形QMNP,∠M =∠B,M是正方形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD于E.

⑴求证:ME = MF.

⑵如图2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”,其他条件不变,探索线段ME与线段MF的关系,并加以证明.

⑶如图3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”,且AB = mBC,其他条件不变,探索线段ME与线段MF的关系,并说明理由.

⑷根据前面的探索和图4,你能否将本题推广到一般的平行四边形情况?若能,写出推广命题;若不能,请说明理由.

 

【答案】

(1)证明:过点M作MH⊥AB于H,MG⊥AD于G,连接AM

∵M是正方形ABCD的对称中心,∴M是正方形ABCD对角线的交点,

∴AM平分∠BAD,∴MH=MG

在正方形ABCD中,∠A=90°,∵∠MHA=∠MGA=90°∴∠HMG=90°,

在正方形QMNP,∠EMF=90°∴∠EMF=∠HMG.∴∠EMH=∠FMG,∵∠MHE=∠MGF,

∴△MHE≌△MGF,∴ME=MF.---------3分

(2) ME=MF。证明:过点M作MH⊥AB于H,MG⊥AD于G,连接AM,

∵M是菱形ABCD的对称中心,∴M是菱形ABCD对角线的交点,∴AM平分∠BAD,∴MH=MG,∵BC∥AD,∴∠B+∠BAD=180°,∵∠M=∠B,∴∠M+∠BAD=180°

又∠MHA=∠MGF=90°,在四边形HMGA中,∠HMG+∠BAD=180°,∴∠EMF=∠HMG.

∴∠EMH=∠FMG,∵∠MHE=∠MGF,∴△MHE≌△MGF,∴ME=MF。----------6分

(3)ME=mMF.证明:过点M作MH⊥AB于H,MG⊥AD于G,

在矩形ABCD中,∠A=∠B=90°∴∠EMF=∠B=90°,

又∵∠MHA=∠MGA=90°,在四边形HMGA中,∴∠HMG=90°,

∴∠EMF=∠HMG,∴∠EMH=∠FMG.∵∠MHE=∠MGF,

∴△MHE∽△MGF,∴

又∵M是矩形ABCD的对称中心,∴M是矩形ABCD对角线的中点

∴MG∥BC,∴MG=BC.同理可得MH=AB,

∵AB = mBC∴ME=mMF。-----------------9分

(4)平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中,∠M=∠B,AB=mBD,

M是平行四边形ABCD的对称中心,MN交AB于F,AD交QM于E。

则ME=mMF.--------------10分

【解析】略

 

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