Question

已知，如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，直线m与AC相交于点P，作AE⊥m，CF⊥m，垂足分别为E、F，∠APE=60°连接OE、OF．

（1）如图①，当点P，于点O重合时，求证：OE=OF；
（2）如图②，当点P与点O不重合时，（1）的结论是否成立？说明理由；
（3）当AP：PO为何值时，OE⊥OF，直接写出结论，不用说明理由．
 （sin15°=

6 - 2

4

，cos15°=

6 + 2

4

，tan15°=2-

2

）

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）OE=OF，证明两个边相等首先可以考虑全等，观察易得△AEO和△CFO貌似全等．进而可通过平行四边形的性质及垂直的性质易△AEO≌△CFO，则结论得证；
（2）综合题中常需注意后问的思路往往要用到前一问的结论或思路．上问中我们利用三角形全等得到两边相等．本问中如果要做类似全等需要延长EO交CF于G，易得EO=GO．而GO与OF如何证明相等？这里利用的是直角三角形中的特殊性质，斜边的中线等于斜边的一半．
（3）同上问，（2）中得到OE=OF不管O、P是否重合，所以此时亦有相等的性质．又由OE⊥OF，所以△OEF为等腰直角三角形，即∠OEF=45°．这里画出大致示意图是寻找思路的关键，不难发现可能有两种情形．
若P在AO上，在Rt△APE中，∠APE=60°，所以∠EAP=30°，进而∠AOE=15°．过点P作PM⊥OE于M，则△EPM亦为等腰直角三角形．根据特殊角直角三角形的性质，此时若设EP=x，则AP=2x，PM=

2

2

x．而在Rt△OPM中，OP=PM÷sin∠POM=

2

2

x÷(

6 - 2

4

)=

2

3 -1

x=(

3

+1)x．即AP：PO=2：（

3

+1）=(

3

-1)：1．
若P在CO上，在Rt△APE中，∠APE=∠CPF=60°，所以∠FCP=30°，进而∠COF=15°（即将在AO的情形对称过来）．类似得CP：PO=(

3

-1)：1，则AP：PO=（A0+OP）：PO=（CO+OP）：PO=（CP+PO+OP）：PO=（

3

-1+1+1）：1=（

3

+1）：1．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形
∴AO=CO
∵AE⊥m，CF⊥m
∴∠AEO=CFO=90°
在△AEO与△CFO中

∠AEO=∠CFO ∠AOE=∠COF AO=CO

∴△AEO≌△CFO（AAS）
∴OE=OF

（2）延长EO交CF于G
∵AE⊥m，CF⊥m
∴∠AEO=CFO=90°
∴AE∥CF
∴∠EAO=∠GCO
在△AEO与△CGO中

∠EAO=∠GCO AO=CO ∠AOE=∠COG

∴△AEO≌△CGO（ASA）
∴EO=GO
∴点O为Rt△EFG斜边EG的中点
∴OF=

1

2

EG=OE

（3）
答：当AP：PO=(

3

-1)：1时或AP：PO=（

3

+1）：1时，OE⊥OF．

点评：本题难度前两问适中，都属于常规题，尤其第二问中的直角三角形斜边中线的性质题目较少，一定多加留意．第三问难度稍有些大，主要是学生不容易耐心的找到题目描述的两个情形．有了图形支持后，解题还是有一定技巧的，利用上问的结论，应该容易得到含45°的特殊直角三角形的隐含条件，就此图中就出现了非常多的特殊角，这显然要利用三角函数才能求解问题，对于初中学生的确有一定难度．另外在求线段比例的题型中，我们经常设出一个相关的短线段为x，然后用这个x去分别表示被比较的线段，然后相约去掉参数x，这是一个常规技巧，请加强练习．