Question

7．如图，在?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，对角线AC，BD相交于O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于E，F．
（1）求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形．
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．
（3）在旋转过程中，当EF⊥BD时，求出此时绕点O顺时针旋转的度数．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的判定得出AB∥EF，AD∥BC，即可得出四边形ABEF一定为平行四边形，
（2）首先由四边形ABCD为平行四边形，利用ASA证得△AOF≌△COE，
（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，又由AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，易求得OA=AB，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的度数为45°

解答 解：（1）∵?ABCD中，AB⊥AC，
∵旋转角∠AOF=90°，
∴AB∥EF，
∵四边形ABCD是平行四边形
∵AD∥BC，
∴四边形ABEF一定为平行四边形．
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，∠FAO=∠ECO，∠AOF=∠COE．
∴△AOF≌△COE．
∴AF=EC．
∴在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．
（3）AC绕点O顺时针旋转45°，
在RT△ABC中，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=2，
∵AO=OC，
∴AO=AB=1，
∵∠BAO=90°，
∴∠AOB=45°，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=90°，
∴∠AOF=90°-∠AOB=45°，
AC绕点O顺时针旋转45°．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握旋转前后图形的对应关系．