Question

如图，直线y=

1

2

x+2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S_△ABP=9．
（1）求点P的坐标；
（2）设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．

Answer 1

分析：（1）证明△AOC∽△ABP，利用线段比求出BP，AB的值从而可求出点P的坐标；
（2）设R点坐标为（x，y），求出反比例函数．又因为△BRT∽△AOC，利用线段比联立方程组求出x，y的值．

解答：解：（1）根据已知条件可得A点坐标为（-4，0），C点坐标为（0，2），
即AO=4，OC=2，
又∵S_△ABP=9，
∴AB•BP=18，
又∵PB⊥x轴?OC∥PB，
∴△AOC∽△ABP，
∴

AO

AB

=

OC

BP

即

4

AB

=

2

BP

，
∴2BP=AB，
∴2BP²=18，
∴BP²=9，
∵BP＞0，
∴BP=3，
∴AB=6，
∴P点坐标为（2，3）；

（2）设R点的坐标为（x，y），
∵P点坐标为（2，3），
∴反比例函数解析式为y=

6

x

，
又∵△BRT∽△AOC，
∴①

AO

OC

=

BT

RT

时，有

4

2

=

x-2

y

，
则有

y= 6 x 2y=x-2

，
解得

x= 13 +1 y= 13 -1 2

，

②

AO

OC

=

RT

BT

时，有

4

2

=

y

x-2

，
则有

y= 6 x y=2x-4

，
解得

x=-1 y=-6

（不在第一象限，舍去），或

x=3 y=2

．
故R的坐标为（

13

+1，

13 -1

2

），（3，2）．

点评：本题考查的是一次函数的综合运用以及相似三角形的判定，难度中上．