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如图,已知二次函数y=ax2-bx-c的图象与x轴交于A、B两点,当时x=1,二次函数取得最大值4,且|OA|=-
1
n
+2,
(1)求二次函数的解析式.
(2)已知点P在二次函数的图象上,且有S△PAB=8,求点P的坐标.
(1)由题意,设二次函数为y=a(x-1)2+4,
令y=0,解得:x=1±
2
-a

故A的横坐标为x=1+
2
-a
,即|OA|=-
1
a
+2=1+
2
-a

解得:a=-1,
则二次函数的解析式是
y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3;

(2)令y=0,得A、B坐标为(3,0),(-1,0),
则|AB|=4,
设点P的坐标为(x,y),
由题意S△PAB=8,得|y|=4,
则y=±4,即4=-x2+2x+3或-4=-x2+2x+3,
解得:x=1或x=1±2
2

故所求点P的坐标为(1,4),(1+2
2
,-4),(1-2
2
,-4).
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知,如图,在平面直角坐标系中,以BC为直径的⊙M交x轴正半轴于点A、B,交y轴正半轴于点E、F,过点C作CD垂直y轴,垂足为点D,连接AM并延长交⊙M于点P,连接PE.
(1)求证:∠FAO=∠EAM;
(2)若二次函数y=-x2+px+q的图象经过点B、C、E,且以C为顶点,当点B的横坐标等于2时,四边形OECB的面积是
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4
,求这个二次函数的解析式.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图1,已知:抛物线y=
1
2
x2+bx+c
与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,经过B、C两点的直线是y=
1
2
x-2
,连接AC.
(1)写出B、C两点坐标,并求抛物线的解析式;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG(顶点D、E、F、G在△ABC各边上)?若能,求出在AB边上的矩形顶点的坐标;若不能,请说明理由.
{抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是(-
b
2a
4ac-b2
4a
)
}.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图1,平面直角坐标系xOy中,抛物线y=
1
2
x2+bx+c
与x轴交于A、B两点,点C是AB的中点,CD⊥AB且CD=AB.直线BE与y轴平行,点F是射线BE上的一个动点,连接AD、AF、DF.
(1)若点F的坐标为(
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2
,1),AF=
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①求此抛物线的解析式;
②点P是此抛物线上一个动点,点Q在此抛物线的对称轴上,以点A、F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形,请直接写出点Q的坐标;
(2)若2b+c=-2,b=-2-t,且AB的长为kt,其中t>0.如图2,当∠DAF=45°时,求k的值和∠DFA的正切值.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(3,0),二次函数y=x2的图象记为抛物线l1

(1)平移抛物线l1,使平移后的抛物线经过A、B两点,记为抛物线l2,求抛物线l2的函数表达式;
(2)设抛物线l2的顶点为C,请你判断y轴上是否存在点K,使得∠BKC=90°,若存在,求出K点坐标,若不存在,请说明理由;
(3)抛物线l2与y轴交于点D,点P是线段BD上的一个动点,过点P,作y轴的平行线,交抛物线l2于点E,求线段PE长度的最大值.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,正方形ABCD的边长为1,当点E在边BC上运动时(不与正方形的顶点重合),连接AE,过点E作EF⊥AE交CD于点F.设BE=x,CF=y,求下列问题:
(1)证明△ABE△ECF;
(2)求出y关于x的函数关系式;
(3)试求当x取何值时?y有最大或最小值,是多少?

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面之间坐标系,点B在第一象限内,将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.
(1)点C的坐标为______;
(2)若抛物线y=ax2+bx经过C,A两点,求此抛物线的解析式;
(3)若抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一点,过P作y轴的平行线,交抛物线于点M,问:是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标,若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知AB=2,C是AB上一点,四边形ACDE和四边形CBFG,都是正方形,设BC=x,
(1)AC=______;
(2)设正方形ACDE和四边形CBFG的总面积为S,用x表示S的函数表达式为S=______.
(3)总面积S有最大值还是最小值?这个最大值或最小值是多少?
(4)总面积S取最大值或最小值时,点C在AB的什么位置?

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,抛物线y=-x2+5x+m经过点A(1,0),与y轴交于点B,
(1)求m的值;
(2)若抛物线与x轴的另一交点为C,求△CAB的面积;
(3)P是y轴正半轴上一点,且△PAB是以AB为腰的等腰三角形,试求点P的坐标.

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