Question

20．如图，在△ADE中，DA=DE，∠ADE=90°，C为DE延长线上一点，AB⊥AC，且AB=AC，延长AD交BE于F．
（1）求证：EF=BF；
（2）求证：CE=2DF．

Answer 1

分析 （1）过点B做BG⊥AF交AF的延长线于点G，由∠ADE=90°，AB⊥AC，证得∠BAF=∠ACD，推出R_t△ABG≌R_t△CAD，于是得到BG=AD，AG=CD，证得R_t△BFG≌R_t△EFD，即可得到结论；
（2）由（1）证得：R_t△BFG≌R_t△EFD，得到FG=FD，由于AG=AD+DG，CD=DE+EC，根据等量代换得到结论．

解答 证明：（1）过点B做BG⊥AF交AF的延长线于点G，
∵∠ADE=90°，AB⊥AC，
∴∠BAF+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BAF=∠ACD，
在R_t△ABG与R_t△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BAC}\\{∠BAF=∠ACD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴R_t△ABG≌R_t△CAD，
∴BG=AD，AG=CD，
∵DE=AD，
∴BG=DE，
在R_t△BFG与R_t△EFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGF=∠FDE}\\{GF=FD}\\{∠BFG=∠DFE}\end{array}\right.$，
∴R_t△BFG≌R_t△EFD，
∴BF=EF；

（2）由（1）证得：R_t△BFG≌R_t△EFD，
∴FG=FD，
∵AG=AD+DG，CD=DE+EC，
∴DG=CE，CE=2DF，．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．