Question

当k取何值时，关于k的方程（k-1）x²-2kx+k-3=0
（1）有两个不等实数根？
（2）有实数根？

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到当k-1≠0且△＞0，方程有两个不相等的实数根，然后解不等式组即可；
（2）分类讨论：当k-1=0，方程变形为一元一次方程，有实数解；当k-1≠0，△≥0，方程有两个实数根，解不等式组得到k≥

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且k≠时，方程有两个实数根；然后把两者结合起来即可．

解答：解：（1）当k-1≠0且△＞0，方程有两个不相等的实数根，
所以k≠1且（-2k）²-4（k-1）（k-3）＞0，解得k＞

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，
所以当k＞

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且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当k-1=0，方程变形为-2x-2=0，解得x=-1；
当k-1≠0，△≥0，方程有两个实数根，即（-2k）²-4（k-1）（k-3）≥0，解得k≥

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，
所以当k≥

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时，方程有实数根．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了分类讨论思想的运用．