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同学们可能都知道,对于一个整数,如果它的各个数位上的数字和可以被3整除,那么这个数就一定能够被3整除,例如,一个四位数,千位上的数字是a,百位上的数字是b,十位上的数字为c,个为上的数字为d,如果a+b+c+d可以被3整除,那么这个四位数就可以被3整除.
(1)你会证明这个结论吗?写出你的论证过程(以这个四位数为例即可).
(2)通过本题的证明,你能总结出能被9整除的整数的特点吗?不必证明.
【答案】分析:(1)首先根据题意可设a+b+c+d=3e,则此四位数1000a+100b+10c+d可表示为999a+99b+9c+a+b+c+d,即3(333a+33b+3c)+3e,所以可得这个四位数就可以被3整除;
(2)根据(1)可知如果一个整数的各个数位上的数字和可以被9整除,那么这个数就一定能够被9整除.
解答:证明:(1)设a+b+c+d=3e(e为整数),
这个四位数可以写为:1000a+100b+10c+d,
∴1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3(333a+33b+3c)+3e,
=333a+33b+3c+e,
∵333a+33b+3c+e是整数,
∴1000a+100b+10c+d可以被3整除.

(2)如果一个整数的各个数位上的数字和可以被9整除,那么这个数就一定能够被9整除.
点评:此题考查了数的整除性问题.注意四位数的表示方法与整体思想的应用.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:学习周报 数学 华师大八年级版 2009-2010学年 第19~26期 总第175~182期 华师大版 题型:044

  从前有个国王,他有三个儿子.大王子只喜欢读书,二王子只知道习武,小王子的兴趣十分广泛,爱读书,爱习武,还爱玩.

  有一天,国王对王子们说:“你们的祖父母去世早,你们可能都记不得他们的年龄了,谁能告诉我,你们的祖父母都活了多大岁数?”

  二王子问:“可以问您几个问题吗?”

  国王回答:“只能问一个.”

  “啊,问一个问题就猜到祖父母的年龄,太困难了,这恐怕连神仙也难办到!”大王子自言自语地说.

  国王又问小王子说:“你行吗?”小王子点了点头.大王子和二王子都很惊讶.

  小王子说:“请您把祖父的年龄放在前面、祖母的年龄放在后面,组成一个四位数,然后将这个四位数平方,接着减去祖母年龄的平方,然后除以祖父年龄的100倍,最后减去祖母的年龄,把所得的数告诉我.”

  国王不知道小王子想干什么,心算了一阵说:“得3129”.

  小王子马上答道:“祖父活到31岁,祖母活到29岁.”国王高兴地站起来说:“对极啦,就是这两个年龄!”“为什么让父王算一道题,就能把祖父母的年龄算出来呢?”“只许问一个问题,要猜出两人的年龄,还不能直接去问,你是怎样算的呢?”两位哥哥不停地问着小王子.

  小王子的妙算是让父王算出一个四位数,使得千位和百位上的数字与祖父的年龄有关;十位和个位上的数字与祖母的年龄有关.

  小王子的算法是:祖父的年龄放在前面、祖母的年龄放在后面组成的四位数是3129,将这个四位数平方,得9790641;减去祖母年龄的平方,得9789800;除以祖父年龄的100倍,得3158;最后减去祖母的年龄,得(31292-292)÷(31×100)-29=3129.

  大王子问:“为什么这样一定可以得到3129呢?”

小王子解释,可以利用整式的乘除的知识,把上面的算式以另一种方式做一下变形:

  [(31×100+29)2-292]÷3100-29=(312×1002+2×31×100×29+292-292)÷3100-29=(312×1002+2×31×100×29)÷3100-29=31×100+2×29-29=3129.

  原来小王子像魔术师变魔术一样,在计算中加了一点“伪装”,这就是“将四位数平方,减去祖母年龄的平方,除以祖父年龄的100倍,减去祖母的年龄”.其实这些步骤与计算祖父、祖母的年龄毫无关系,目的是使这种计算更隐蔽、更神秘(其实,我们只需根据由祖父、祖母年龄组成的四位数就可以知道祖父、祖母的年龄).

  同学们,你能通过整式的有关知识对小王子的算法作出解释吗?

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