Question

【题目】已知在△ABC中，AB=AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．
（1）如图1，若∠ABC=60°、∠MBN=30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．
①求证：CE=AG；
②若BF=2AF，连接CF，求∠CFE的度数；
（2）如图2，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE=∠BAC=2∠CFE，直接写出的结果

Answer 1

【答案】解：（1）①∵AB=AC，∠ABC=60°
∴△ABC为等边三角形，
则∠BAC=∠ACB=60°，AB=CA，
∵AD⊥BN，∠MBN=30°，
∴∠BFD=∠AFG=60°，
∵∠ABF+∠BAF=60°，
∠BAF+∠EAC=60°
∴∠EAC=∠GBA
在△GBA与△EAC中，
，
∴△GBA≌△EAC，
∴CE=AG；
②如图1，取BF的中点K连接AK，
∵BF=2AF，
∴AF=BK=FK=BF，
∴△FAK是等腰三角形，
∴∠FAK=∠FKA，
∵∠BFD=∠FAK+∠FKA=2∠AKF，
∵∠BFD=60°，
∴∠AKF=∠BFD=300
∵△GBA≌△EAC，
∴AG=CE，BG=AE，∠AGB=∠AEC，
∴KG=BG﹣BK=AE﹣AF=FE，
在△GAK与△EFC中，
，
∴△GAK≌△EFC，
∴∠CFE=∠AKF，
∴∠CFE=∠AKF=30°；
（2）如图2，在BF上取BK=AF，连接AK，
∵∠BFE=∠BAF+∠ABF，
∵∠BFE=∠BAC，
∴∠BAF+∠EAC=∠BAF+ABF，
∴∠EAC=∠FBA，
在△ABK与△ACF中，
，
∴△ABK≌△AFC，
∴S△ABK=S△ACF ， ∠AKB=∠AFC，
∵∠BFE=2∠CFE，
∴∠BFE=2∠AKF，
∵∠BFE=2∠AKF=∠AKF+KAF，
∴∠AKF=∠KAF，
∴△FAK是等腰三角形，
∴AF=FK，
∴BK=AF=FK，
∴S△ABK=S△AFK ，
∵S△ABF=S△ABK+S△AFK=2S△ABK=2S△ACF ，
∴=．
故答案为：．

【解析】（1）①由AB=AC，∠ABC=60°得到△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠BAC=∠ACB=60°，AB=CA，求得∠BFD=∠AFG=60°，推出∠EAC=∠GBA证得△GBA≌△EAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②如图1，取BF的中点K连接AK，由BF=2AF，推出△FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到∠FAK=∠FKA，求得∠AKF=∠BFD=300 ， 根据全等三角形的性质得到AG=CE，BG=AE，∠AGB=∠AEC，推出△GAK≌△EFC，根据全等三角形的性质得到∠CFE=∠AKF即可得到结论；
（2）如图2，在BF上取BK=AF，连接AK，推出∠EAC=∠FBA，根据全等三角形的性质得到S△ABK=S△ACF ， ∠AKB=∠AFC，证得△FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到AF=FK，即可得到结论．