Question

11．如图，Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，P为BC边上一点（不与B、C重合），过点P作PQ⊥AP交AB于Q，连接AP交CD于点E．
（1）求证：△ACE∽△PBQ；
（2）若AC=6，BC=8，CP=x，$\frac{PE}{PQ}$=y，试用含x的式子表示y；
（3）在（2）的条件下，若△CPE为等腰三角形，请直接写出CP的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠ACE=∠B，∠BPQ=∠CAE即可解决问题．
（2）过点A作AK∥BC交CD的延长线于点K．先证明△ACK∽△CBA得$\frac{AK}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，推出AK=$\frac{9}{2}$，由△CPE∽△KAE，得到$\frac{CP}{AK}$=$\frac{EP}{EA}$=$\frac{2x}{9}$，推出EP=$\frac{2x}{9}$EA，由△ACE∽△BPQ，得$\frac{AE}{PQ}$=$\frac{AC}{PB}$=$\frac{6}{8-x}$，由$\frac{PE}{PQ}$=y，推出y=$\frac{\frac{2x}{9}EA}{PQ}$=$\frac{2x}{9}$$•\frac{EA}{PQ}$=$\frac{2x}{9}$•$\frac{6}{8-x}$=$\frac{4x}{24-3x}$即可解决问题．
（3）分三种情形讨论：①当CE=PE=x时，②当CE=CP=x时，③当CP=EP时，∠CEP=∠DCB，分别求解即可．

解答 （1）证明：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ACE=90°，∠B+∠CAD=90°，
∴∠ACE=∠B，
∵AP⊥PQ，
∴∠BPQ+∠APC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠APC=90°，
∴∠BPQ=∠CAE，
∴△ABF∽△ECG．

（2）解：过点A作AK∥BC交CD的延长线于点K．

∵∠ACD=∠B，∠CAK=∠ACB=90°，
∴△ACK∽△CBA，
∴$\frac{AK}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{AK}{6}$=$\frac{6}{8}$，
∴AK=$\frac{9}{2}$，
∵AK∥BC，∵CP=x，
∴△CPE∽△KAE，
∴$\frac{CP}{AK}$=$\frac{EP}{EA}$=$\frac{2x}{9}$，
∴EP=$\frac{2x}{9}$EA，
∵△ACE∽△BPQ，
∴$\frac{AE}{PQ}$=$\frac{AC}{PB}$=$\frac{6}{8-x}$，
∵$\frac{PE}{PQ}$=y，
∴y=$\frac{\frac{2x}{9}EA}{PQ}$=$\frac{2x}{9}$$•\frac{EA}{PQ}$=$\frac{2x}{9}$•$\frac{6}{8-x}$=$\frac{4x}{24-3x}$，
即y=$\frac{4x}{24-3x}$．

（3）解：①当CE=PE=x时，
∵$\frac{PE}{PQ}$=y，
∴$\frac{CE}{PQ}$=y=$\frac{4x}{24-3x}$，
∵△ACE∽△BPQ，
∴$\frac{CE}{PQ}$=$\frac{AC}{BP}$，
∴$\frac{4x}{24-3x}$=$\frac{6}{8-x}$，
解得x=$\frac{9}{2}$．

②当CE=CP=x时，在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵CE=CP，
∴∠CEP=∠CPE，
∵∠CEP=∠ACD+∠CAE，∠CPE=∠B+∠PAB，
∵∠ACD=∠B，
∴∠CAE=∠PAB，
∴△AEC∽△APB，
∴$\frac{CE}{BP}$=$\frac{AC}{AB}$，
即$\frac{x}{8-x}$=$\frac{6}{10}$，
解得x=3．
③当CP=EP时，∠CEP=∠DCB，
∵∠CEP=∠CAE+∠ACD，∠DCB=∠CAD=∠CAE+∠PAB，
∴∠ACD=∠PAB，
∵∠ACD=∠B，
∴∠PAB=∠B，
∴AP=BP=8-x，
在Rt△ACP中，AC²+PC²=AP²，
∴6²+x²=（8-x）²，
解得x=$\frac{7}{4}$，
综上所述，当△CPE是等腰三角形时，CP的长为3或$\frac{9}{2}$或$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查相似三角形综合题、勾股定理、等角的余角相等等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．