Question

如图，AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：∠BAE=∠CAD
（2）若sin∠CAD=

3

5

，AB=6，求⊙O的半径r．

Answer 1

分析：（1）连接BE，则∠C=∠E，由AE是△ABC的外接圆⊙O的直径得∠BAE+∠E=90°，从而得出∠BAE=∠CAD；
（2）由sin∠CAD=

3

5

，则sin∠BAE=

3

5

，再由AB=6，得出答案即可．

解答：（1）证明：连接BE，∴∠C=∠E，
∵AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
即∠BAE+∠E=90°，
∵AD是△ABC中BC边上的高，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAE=∠CAD；

（2）解：∵sin∠CAD=

3

5

，
∴sin∠BAE=

BE

AE

=

3

5

，
∵AB²+BE²=AE²，AB=6，
∴36+（

3

5

AE）²=AE²．
解得AE=

15

2

，
∴r=

15

4

．

点评：本题考查了圆周角定理、三角形的外接圆、锐角三角函数的定义以及相似三角形的判定和性质．