Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，AB=24cm，点D从点C出发沿CA方向以5cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以3cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤8）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）先求出AE=3t，CD=5t，再根据DF∥AB，得出

DF

AB

=

CD

AC

，然后代入求出DF=3t，即可得出AE=DF；
（2）先证出四边形AEFD是平行四边形，再根据当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，得出40-5t=3t，再计算即可；
（3）当∠EDF=90°时，根据DE∥BC，得出

AD

AC

=

AE

AB

，再代入计算求出t=4，当∠DEF=90°时，先证出△ADE∽△EBF，得出

AD

EB

=

AE

EF

，再代入求出t，最后把不合题意的解舍去即可．

解答：证明：（1）∵点D从点C出发沿CA方向以5cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以3cm/s的速度向点B匀速运动，
∴AE=3t，
CD=5t，
∵DF⊥BC，∠B=90°，
∴DF∥AB，
∴△CDF∽△CAB，
∴

DF

AB

=

CD

AC

，
∴

DF

24

=

5t

40

，
∴DF=3t，
∴AE=DF；
（2）∵DF∥AE，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
∴40-5t=3t，
解得：t=5，
即当t=5时，四边形AEFD是菱形；
（3）当∠EDF=90°时，∵DE∥BC，
∴

AD

AC

=

AE

AB

，
∴

40-5t

40

=

3t

24

，
∴t=4，
当∠DEF=90°时，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴EF∥AC，EF=AD=40-5t，
∴∠A∠BEF，∠ADE=∠DEF=90°，
∴∠ADE=∠B，
∴△ADE∽△EBF，
∴

AD

EB

=

AE

EF

，
∴

40-5t

24-3t

=

3t

40-5t

，
解得：t₁=8（舍去），t₂=

100

17

；
∴当t为4或

100

17

时，△DEF为直角三角形．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定等，关键是根据相似三角形的性质得出比例式列出方程，注意把不合题意的解舍去．