Question

如图，△ABC的两条角平分线BD、CE交于O，且∠A=60°，则下列结论中不正确的是（　　）

A．∠BOC=120°

B．BC=BE+CD

C．OD=OE

D．OB=OC

Answer 1

分析：根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB=120°，再根据角平分线的性质求出∠OBC+∠OCB=60°，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可求出∠BOC的度数；
连接OA，作OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OF=OG=OH，从而可得△BOF和△BOH全等，△COG和△COH全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=BF，CH=CG，再根据四边形的内角和求出∠FOG=120°，根据对顶角相等求出∠EOD=120°，然后推出∠EOF=∠DOG，再利用“角边角”证明△EOF和△DOG全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=DG，OD=OE，即可判定出B、C选项都正确，根据等角对等边的性质，只有∠ABC=∠ACB时才能得到OB=OC，所以D选项错误．

解答：解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
∵△ABC的两条角平分线BD、CE交于O，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=120°，故A选项正确；

如图，连接OA，作OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，
∵△ABC的两条角平分线BD、CE交于O，
∴OF=OG=OH，
利用“HL”可得△BOF≌△BOH，△COG≌△COH，
∴BH=BF，CH=CG，
在四边形AFOG中，∠FOG=360°-60°-90°×2=120°，
∴DOG=∠FOG-∠DOF=120°-∠DOF，
又∵∠EOD=∠BOC=120°，
∴∠EOF=∠EOD-∠DOF=120°-∠DOF，
∴∠EOF=∠DOG，
在△EOF和△DOG中，

∠EOF=∠DOG OF=OG ∠EFO=∠DGO=90°

，
∴△EOF≌△DOG（ASA），
∴EF=DG，OD=OE，故C选项正确；
∴BC=BH+CH=BF+CG=BE+EF+CD-DG=BE+CD，
即BC=BE+CD，故B选项正确；

只有当∠ABC=∠ACB时，∵△ABC的两条角平分线BD、CE交于O，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
而本题无法得到∠ABC=∠ACB，
所以，OB=OC不正确，故D选项错误．
故选D．

点评：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，并根据∠A=60°推出，∠FOG=∠EOD=120°，从而证明得到∠EOF=∠DOG是证明三角形全等的关键，也是解决本题的难点．