Question

【题目】如图，在四边形中，，点是边上一点，，，垂足为点，交于点，连接．

（1）四边形是平行四边形吗？说明理由；

（2）求证:；

（3）若点是边的中点，求证:．

Answer 1

【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）由可得AB∥DC，再由AB=DC即可判定四边形ABCD为平行四边形；

（2）由AB∥DC可得∠AED=∠CDE，然后根据CE=AB=DC可得∠CDE=∠CED，再利用三角形内角和定理即可推出∠AED与∠DCE的关系；

（3）延长DA，FE交于点M，由“AAS”可证△AEM≌△BEF，可得ME=EF，由直角三角形的性质可得DE=EF=ME，由等腰三角形的性质和外角性质可得结论．

（1）四边形是平行四边形，理由如下：

∵

∴AB∥DC

又∵AB=DC

∴四边形是平行四边形．

（2）∵AB∥DC

∴∠AED=∠CDE

又∵AB=DC，CE=AB

∴DC=CE

∴∠CDE=∠CED

∴在△CDE中，2∠CDE+∠DCE=180°

∴∠CDE=90°-∠DCE

∴

（3）如图，延长DA，FE交于点M，

∵四边形ABCD为平行四边形

∴DM∥BC，DF⊥BC

∴∠M=∠EFB，DF⊥DM

∵E为AB的中点

∴AE=BE

在△AEM和△BEF中，

∵∠M=∠EFB，∠AEM=∠BEF，AE=BE

∴△AEM≌△BEF（AAS）

∴ME=EF

∴在Rt△DMF中，DE为斜边MF上的中线

∴DE=ME=EF

∴∠M=∠MDE，

∴∠DEF=∠M+∠MDE=2∠M=2∠EFB．