Question

关于x的一元二次方程x²-（m-1）x+2m-1=0．
（1）若其根的判别式为16，求m的值及该方程的根．
（2）设该方程的两个实数根为x₁，x₂，且x12+x22=10，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根据判别式的意义得到△=（m-1）²-4（2m-1）=16，再解关于m的一元二次方程，然后分别把m的值代入原方程，再利用因式分解法求解；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=m-1，x₁•x₂=2m-1，由x12+x22=10得到（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，则（m-1）²-2（2m-1）=10，解出m，然后利用判别式确定满足条件的m的值．

解答：解：（1）△=（m-1）²-4（2m-1）=16，
整理得m²-10m-11=0，
解得m₁=-1，m₂=11，
当m=-1时，x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=-1；
当m=11时，x²+2x-3=0，解得x₁=3，x₂=7；

（2）根据题意得x₁+x₂=m-1，x₁•x₂=2m-1，
∵x12+x22=10，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，
∴（m-1）²-2（2m-1）=10，
整理得m²-6m-7=0，解得m₁=7，m₂=-1，
当m=7时，△=（7-1）²-4（2×7-1）＜0，
∴m的值为-1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．