Question

已知：抛物线y=x²+（a-2）x-2a（a为常数，且a＞0）．
（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；
（2）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴的交点为C．
①当时，求抛物线的解析式；
②将①中的抛物线沿x轴正方向平移t个单位（t＞0），同时将直线l：y=3x沿y轴正方向平移t个单位，平移后的直线为l′，移动后A、B的对应点分别为A′、B′．当t为何值时，在直线l'上存在点P，使得△A′B′P为以A'B'为直角边的等腰直角三角形．

Answer 1

（1）证明：令y=0，则x²+（a-2）x-2a=0
△=（a-2）²+8a=（a+2）²
∵a＞0，
∴a+2＞0
∴△＞0
∴方程x²+（a-2）x-2a=0有两个不相等的实数根；
∴抛物线与x轴有两个交点
（2）①令y=0，则x²+（a-2）x-2a=0，
解方程，得x₁=2，x₂=-a
∵A在B左侧，且a＞0，
∴抛物线与x轴的两个交点为A（-a，0），B（2，0）．
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴C（0，-2a）
∴AO=a，CO=2a；
在Rt△AOC中，，a²+（2a）²=20，
可得a=±2；
∵a＞0，
∴a=2
∴抛物线的解析式为y=x²-4；
②依题意，可得直线l'的解析式为y=3x+t，A'（t-2，0），B'（t+2，0），A'B'=AB=4
∵△A'B'P为以A'B'为直角边的等腰直角三角形，
∴当∠PA'B'=90°时，点P的坐标为（t-2，4）或（t-2，-4）
∴|3（t-2）+t|=4
解得或
当∠PB'A'=90°时，点P的坐标为（t+2，4）或（t+2，-4）
∴|3（t+2）+t|=4
解得或（不合题意，舍去）
综上所述，或．
分析：（1）令抛物线的y值等于0，证所得方程的△＞0即可；
（2）①令抛物线的解析式中y=0，通过解方程即可求出A、B的坐标，进而可得到OA的长；易知C（0，-2a），由此可得到OC的长，在Rt△OAC中，根据勾股定理即可得到关于a的方程，可据此求出a的值，即可确定抛物线的解析式；
②根据平移的性质，可用t表示出直线l′的解析式以及A′、B′的坐标；由于抛物线在向右平移的过程中，开口大小没有变化，因此A′B′的长度和AB相等，由此可得到A′B′的长；若△A′B′P是以A'B'为直角边的等腰直角三角形，那么可有两种情况：
①∠PA'B'=90°，此时PA′=A′B′；②∠PB'A'=90°，此时PB′=A′B′；
根据PA′、PB′的表达式及A′B′的长，即可求出t的值．
点评：此题是二次函数的综合题，涉及到根的判别式、勾股定理、二次函数解析式的确定、等腰直角三角形的判定和性质等知识，需注意的是在等腰直角三角形的直角顶点不确定的情况下，要分类讨论，以免漏解．