Question

8．如图，抛物线顶点坐标为点C（2，8），交x轴于点A （6，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点Q （x，0）是线段OA上的一动点，过Q点作x轴的垂线，交抛物线于P点，交直线BA于D点，求PD与x之间的函数关系式并求出PD的最大值；
（3）x轴上是否存在一点Q，过点Q作x轴的垂线，交抛物线于P点，交直线BA于D点，使以PD为直径的圆与y轴相切？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式，进而得出点B坐标，再用待定系数法求出直线AB解析式；
（2）借助（1）的结论，先建立PD与x的函数关系式，即可确定出最大值；
（3）借助（2）的结论，利用圆心到y轴的距离等于半径即可建立方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线顶点坐标为点C（2，8），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+8，
∵点A在抛物线上，
∴a（6-2）²+8=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+8=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6，
∴B（0，6），
∵A （6，0），
∴直线AB的解析式为y=-x+6；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6，直线AB的解析式为y=-x+6；
∵Q点作x轴，Q （x，0），
∴P（x，-$\frac{1}{2}$x²+2x+6），D（x，-x+6），
∴PD=|-$\frac{1}{2}$x²+2x+6-（-x+6）|=|-$\frac{1}{2}$x²+3x|，
∵Q （x，0）是线段OA上的一动点，
∴0≤x≤6，
∴PD=-$\frac{1}{2}$x²+3x=-$\frac{1}{2}$（x²-6x）=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{9}{2}$，
∴当x=3时，PD最大，最大值是$\frac{9}{2}$，
（3）由（2）知，P（x，-$\frac{1}{2}$x²+2x+6），D（x，-x+6），
∴以PD为直径的圆的圆心的横坐标为x，
由（2）知，PD=|-$\frac{1}{2}$x²+3x|，
∵以PD为直径的圆与y轴相切，
∴|x|=$\frac{1}{2}$|-$\frac{1}{2}$x²+3x|，
∴x=0（舍）或x=2或x=10，
∴Q（2，0）或（10，0）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行于坐标轴上的直线上两点间的距离，函数的极值，解绝对值方程，建立PD与x的函数关系式是解本题的关键．