Question

19．已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（如图1），在A的左侧x轴上取点G，OB上取点E，使GE=BE，作EF⊥AB，交CB于点F，连接FG交线段AC于N（不与A、C重合），设EF=t．
（1）求∠ACB的度数；
（2）设S_△AGN=S，求S与t的函数关系式，并求t的取值范围；
（3）如点P线段BC上一动点，M是抛物线上的点，且PM⊥BC，以P、M、C为顶点的三角形与△AOC相似（如图2），求M的坐标，并直接写出此时GF的延长线与线段PM有公共点时t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B、C三点坐标，只要证明△CAO∽△BAC，推出∠AOC=∠ACB=90°，即可解决问题．
（2）首先用t表示点G、F的坐标，求出直线AC、GF的解析式，利用方程组求出点N的坐标，由此即可解决问题．
（3）分两种情形求解）①当CM₁∥AB时，△M₁CP₁∽△ACO．想办法求出点P₁，M₁的坐标，利用待定系数法即可．②当△M₂P₂C∽△COA 时，方法类似．

解答 解：（1）对于抛物线，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，令y=0，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，解得x=-1或4，
∴A（-1，0），B（4，0），
令x=0，得y=-2，
∴B（0，-2），
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=5，
∴$\frac{AO}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{AO}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，∵∠CAO=∠CAB，
∴△CAO∽△BAC，
∴∠AOC=∠ACB=90°，
∴∠ACB=90°．

（2）如图1中，

∵EF∥OC，
∴$\frac{EF}{OC}$=$\frac{EB}{OB}$，
∴$\frac{t}{2}$=$\frac{EB}{4}$，
∴EB=2t，GB=2EB=4t，
∴AG=BG-AB=4t-5，GO=AG+OA=4t-4，
∴G（4-4t，0），F（4-2t，-t），
∴设直线FG的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{（4-2t）k+b=-t}\\{（4-4t）k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2-2t}\end{array}\right.$，
∴直线FG的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2-2t，
∵A（-1，0），C（0，-2），
∴直线AC的解析式为y=-2x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{y=-\frac{1}{2}x+2-2t}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}t-\frac{8}{3}}\\{y=-\frac{8}{3}t+\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴点N坐标为（$\frac{4}{3}$t-$\frac{8}{3}$，-$\frac{8}{3}$t+$\frac{10}{3}$），
∴S=$\frac{1}{2}$•（4t-5）•（$\frac{8}{3}$t-$\frac{10}{3}$）=$\frac{16}{3}$t²-$\frac{40}{3}$t+$\frac{25}{3}$．（0＜t＜4）．

（3）①当CM₁∥AB时，△M₁CP₁∽△ACO．

根据对称性可知M₁（3，-2），
∵直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
∵P₁M₁⊥BC，
∴直线P₁M₁的解析式为y=-2x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{y=\frac{1}{2}x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∴点P₁坐标为（$\frac{12}{5}$，-$\frac{4}{5}$），
当直线FG经过点P₁时，-$\frac{4}{5}$=-$\frac{6}{5}$+2-2t，
∴t=$\frac{4}{5}$，
当直线FG经过点M₁时，-2=-$\frac{3}{2}$+2-2t，
∴t=$\frac{5}{4}$，
∴GF的延长线与线段PM有公共点时t的取值范围：$\frac{4}{5}$≤t≤$\frac{5}{4}$．
②当△M₂P₂C∽△COA 时，易知∠M₂CB=∠BCO，
∴直线CM₂与直线OC关于直线BC对称，可得直线CM₂的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x-2}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{25}{8}}\end{array}\right.$，
∴点M₂坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$），
∵P₂M₂⊥BC，
∴直线P₂M₂的解析式为y=-2x-$\frac{1}{8}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-\frac{1}{8}}\\{y=\frac{1}{2}x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{4}}\\{y=-\frac{13}{8}}\end{array}\right.$
∴点P₂坐标为（$\frac{3}{4}$，-$\frac{13}{8}$），
当直线FG经过点P₂时，-$\frac{13}{8}$=-$\frac{3}{8}$+2-2t，
∴t=$\frac{13}{8}$，
当直线FG经过点M₁时，-$\frac{25}{8}$=-$\frac{3}{4}$+2-2t，
t=$\frac{35}{16}$，
∴GF的延长线与线段PM有公共点时t的取值范围：$\frac{13}{8}$≤t≤$\frac{35}{16}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、三角形的面积、相似三角形的判定和性质、方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标，学会用分类讨论的思想思考问题，本题体现了数形结合的思想，属于中考压轴题．