如图.已知抛物线y=ax2+2x+6交x轴与A.B两点.将直尺WXYZ与x轴负方向成45°放置.边WZ经过抛物线上的点C(4.m).与抛物线的另一交点为点D.直尺被x轴截得的线段EF=2.且△CEF的面积为6．(1)求该抛物线的解析式,(2)探究:在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P.使得△ACP的面积最大?若存在.请求出面积的最大值及此时点P的坐标,若不存在.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．如图，已知抛物线y=ax²+2x+6（a≠0）交x轴与A，B两点（点A在点B左侧），将直尺WXYZ与x轴负方向成45°放置，边WZ经过抛物线上的点C（4，m），与抛物线的另一交点为点D，直尺被x轴截得的线段EF=2，且△CEF的面积为6．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）探究：在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使得△ACP的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x轴向左平移，设平移的时间为t秒，平移后的直尺为W′X′Y′Z′，其中边X′Y′所在的直线与x轴交于点M，与抛物线的其中一个交点为点N，请直接写出当t为何值时，可使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

分析（1）根据三角形的面积公式求出m的值，结合点C的坐标利用待定系数法即可求出a值，从而得出结论；
（2）假设存在．过点P作y轴的平行线，交x轴与点M，交直线AC于点N．根据抛物线的解析式找出点A的坐标．设直线AC的解析式为y=kx+b，点P的坐标为（n，-$\frac{1}{2}$n²+2n+6）（-2＜n＜4），由点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，代入x=n，即可得出点N的坐标，利用三角形的面积公式即可得出S_△ACP关于n的一元二次函数，根据二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）根据直尺的摆放方式可设出直线CD的解析式为y=-x+c，由点C的坐标利用待定系数法即可得出直线CD的解析式，联立直线CD的解析式与抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点D的坐标，令直线CD的解析式中y=0，求出x值即可得出点E的坐标，结合线段EF的长度即可找出点F的坐标，设出点M的坐标，结合平行四边形的性质以及C、D点坐标的坐标即可找出点N的坐标，再由点N在抛物线图象上，将其代入抛物线解析式即可得出关于时间t的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答解：（1）∵S_△CEF=$\frac{1}{2}$EF•y_C=$\frac{1}{2}$×2m=6，
∴m=6，即点C的坐标为（4，6），
将点C（4，6）代入抛物线y=ax²+2x+6（a≠0）中，
得：6=16a+8+6，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴该抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6．
（2）假设存在．过点P作y轴的平行线，交x轴与点M，交直线AC于点N，如图1所示．

令抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6中y=0，则有-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=0，
解得：x₁=-2，x₂=6，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（6，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，点P的坐标为（n，-$\frac{1}{2}$n²+2n+6）（-2＜n＜4），
∵直线AC过点A（-2，0）、C（4，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-2k+b}\\{6=4k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x+2．
∵点P的坐标为（n，-$\frac{1}{2}$n²+2n+6），
∴点N的坐标为（n，n+2）．
∵S_△ACP=$\frac{1}{2}$PN•（x_C-x_A）=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$n²+2n+6-n-2）×[4-（-2）]=-$\frac{3}{2}$（n-1）²+$\frac{27}{2}$，
∴当n=1时，S_△ACP取最大值，最大值为$\frac{27}{2}$，
此时点P的坐标为（1，$\frac{15}{2}$）．
∴在直线AC上方的抛物线上存在一点P，使得△ACP的面积最大，面积的最大值为$\frac{27}{2}$，此时点P的坐标为（1，$\frac{15}{2}$）．
（3）∵直尺WXYZ与x轴负方向成45°放置，
∴设直线CD的解析式为y=-x+c，
∵点C（4，6）在直线CD上，
∴6=-4+c，解得：c=10，
∴直线CD的解析式为y=-x+10．
联立直线CD与抛物线解析式成方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+10}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=8}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴点D的坐标为（2，8）．
令直线CD的解析式y=-x+10中y=0，则0=-x+10，
解得：x=10，即点E的坐标为（10，0），
∵EF=2，且点E在点F的左边，
∴点F的坐标为（12，0）．
①点N在x轴的上方时：
设点M的坐标为（12-2t，0），则点N的坐标为（12-2t-2，0+2），即N（10-2t，2）．

∵点N（10-2t，2）在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6的图象上，
∴-$\frac{1}{2}$（10-2t）²+2（10-2t）+6=2，整理得：t²-8t+13=0，
解得：t₁=4-$\sqrt{3}$，t₂=4+$\sqrt{3}$；
②点N在x轴的下方时：
设点M的坐标为（12-2t，0），则点N的坐标为（12-2t+2，0-2），即N（14-2t，-2）．

∵点N（14-2t，-2）在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6的图象上，
∴-$\frac{1}{2}$（14-2t）²+2（14-2t）+6=-2，整理得：t²-12t+31=0，
解得：t₃=6-$\sqrt{5}$，t₄=6+$\sqrt{5}$；

∴当t为4-$\sqrt{3}$、4+$\sqrt{3}$、6-$\sqrt{5}$或6+$\sqrt{5}$秒时，可使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

点评本题考查了三角形的面积公式、待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、解二元二次方程组、平行四边形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）求出点C的坐标；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）用时间t表示出来点N的坐标．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，联立函数解析式成方程组，解方程组求出交点坐标是关键．

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