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    如图，已知y=
    1
    2
    x2+px+q    （q≠0）与直线y=x交于A、B两点，与y轴交于点C，OA精英家教网=BO，BC∥x轴．
    （1）求p和q的值；
    （2）设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点（点E在点D的右上方），DE=
    		2
    ，过D作y轴的平行线，交抛物线于F．
    ①设点D的横坐标为t，△EDF的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
    ②又过点E作y轴的平行线，交抛物线于G，试问能不能适当选择点D的位置，使四边形DFGE是平行四边形？如果能，求出此时点D的坐标；如果不能，请说明理由．
    分析：（1）由题意得C（0，q），又由BC∥x轴，且点B在直线y=x上，可求得点B的坐标，由OA=BO知，点A、B关于原点对称，求得点A的坐标，然后代入函数解析式，即可求得p和q的值与此二次函数的解析式；
    （2）①由点D直线x=t和y=x上，可求得点D的坐标，而点F在直线x=t上，又在抛物线y=
    1
    2
    x2+x-2上，即可得点F的坐标，然后过点E作EH⊥DF的延长线于H，由DE=
    		2
    可知，EH=1，S=
    1
    2
    DF•EH，即可求得答案；
    ②易知E（t+1，t+1），而点G在直线x=t+1上，又在抛物线y=
    1
    2
    x2+x-2上，即可知点G的坐标与EG的长，若四边形DFGE是平行四边形，则EG=DF，即可求得t的值，则可得满足条件的点D存在，其坐标为（-
    1
    2
    ，-
    1
    2
    ）．
    解答：解：（1）由题意得C（0，q），
    ∵BC∥x轴，且点B在直线y=x上，
    由y=
    1
    2
    x2+px+q，可知，点B的坐标为（q，q），
    由OA=BO知，点A、B关于原点对称，
    ∴点A的坐标为（-q，-q），
    ∴
    1
    2
    q2+pq+q=q
    1
    2
    (-q)2+p(-q)+q=-q
    ，
    解得：p=1，q=-2，
    ∴抛物线的解析式为：y=
    1
    2
    x2+x-2；

    （2）①∵点D直线x=t和y=x上，
    由（1）可知道点D的坐标为（t，t），
    而点F在直线x=t上，又在抛物线y=
    1
    2
    x2+x-2上，
    ∴点F的坐标为（t，
    1
    2
    t2+t-2），
    过点E作EH⊥DF的延长线于H，由DE=
    		2
    可知，EH=1，
    DF=t-（
    1
    2
    t2+t-2）=-
    1
    2
    t2+2，
    ∴S=
    1
    2
    DF•EH=
    1
    2
    （-
    1
    2
    t2+2）×1=-
    1
    4
    t2+1．
    解方程组：
    y=
    1
    2
    x2+x-2
    y=x
    ，
    解得：
    x1=2
    y1=2
    ，
    x2=-2
    y2=-2

    ∴点A（2，2），B（-2，-2），
    ∴t的取值范围为-2＜t＜1，且当t=0时，S有最大值1．
    ②易知E（t+1，t+1），而点G在直线x=t+1上，又在抛物线y=
    1
    2
    x2+x-2上，
    可知点G的坐标为（t+1，
    1
    2
    （t+1）2+（t+1）-2），
    ∴EG=（t+1）-[
    1
    2
    （t+1）2+（t+1）-2]=-
    1
    2
    t2-t-
    3
    2
    ，
    若四边形DFGE是平行四边形，则EG=DF，即-
    1
    2
    t2-t-
    3
    2
    =-
    1
    2
    t2+2，
    解得：t=-
    1
    2
    ．
    ∴满足条件的点D存在，其坐标为（-
    1
    2
    ，-
    1
    2
    ）．
    点评：此题考查了二次函数的综合应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
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    m
    x
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    1
    2
    x+
    5
    2
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    1
    2
    ），连接AC，AC平行于y轴．
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    12x
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    12
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    ．
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    10
    10
    个角；
    （2）求∠DOE的度数；
    （3）设∠AOB=x，∠BOC=y，∠DOE的度数为
    1
    2
    x+
    1
    2
    y
    1
    2
    x+
    1
    2
    y
    （用含x，y的代数式表示）．
    （4）通过（2）、（3）的计算，猜想∠DOE=
    1
    2
    1
    2
    ∠AOC．

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