Question

如图，已知直线l₁：y=

2

3

x+

8

3

与直线 l₂：y=-2x+16相交于点C，直线l₁、l₂分别交x轴于A、B两点，矩形DEFG的顶点D、E分别在l₁、l₂上，顶点F、G都在x轴上，且点G与B点重合，求S_矩形DEFG与S_△ABC的比值．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：

分析：把y=0代入l₁解析式求出x的值便可求出点A的坐标．令x=0代入l₂的解析式求出点B的坐标．然后可求出AB的长．联立方程组可求出交点C的坐标，继而求出三角形ABC的面积，再利用x_D=x_B=8易求D点坐标．又已知y_E=y_D=8可求出E点坐标．故可求出DE，EF的长，即可得出矩形面积．

解答：解：由y=

2

3

x+

8

3

，得
当y=0时，x=-4．
∴A点坐标为（-4，0），
由-2x+16=0，得x=8．
∴B点坐标为（8，0），
∴AB=8-（-4）=12．
由

y= 2 3 x+ 8 3 y=-2x+16

，解得

x=5 y=6

，
∴C点的坐标为（5，6），
∴S_△ABC=

1

2

AB•C=

1

2

×12×6=36．
∵点D在l₁上且x_D=x_B=8，
∴y_D=

2

3

×8+

8

3

=8，
∴D点坐标为（8，8），
又∵点E在l₂上且y_E=y_D=8，
∴-2x_E+16=8，
∴x_E=4，
∴E点坐标为（4，8），
∴DE=8-4=4，EF=8．
∴矩形面积为：4×8=32，
∴S_矩形DEFG：S_△ABC=32：36=8：9．
答：S_矩形DEFG与S_△ABC的比值是8：9．

点评：此题主要考查了一次函数交点坐标求法以及图象上点的坐标性质等知识，根据题意分别求出C，D两点的坐标是解决问题的关键．