Question

如图，在平面直角坐标系中抛物线与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 、是方程的两个根.

（1）求抛物线的解析式及点C坐标；

（2）若点D是线段BC上一动点，过点D的直线EF平行y轴

交轴于点F，交抛物线于点E.求DE长的最大值；

（3）试探究当DE取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以D、F、B、P

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.

 

Answer 1

 解：(1) 解得  

     ∴A(－1, 0)  B(3, 0)  ………………………………………2分

 ∴              ∴         抛物线的解析式是：              ………………3分            

  ∴  当时， ∴ C(0,－3)  ………………………………4分

（2）由（1）知 B(3, 0) ， C(0,－3)  直线BC的解析式是： ………………5分

       设D（x,x-3）(0≤x≤3),则E（x,x²-2x-3）…………………6分

 ∴DE=(x-3)-( x²-2x-3)=- x²+3x =               …………………………7分        

    ∴当      时，DE的最大值＝    …………………………8分                  

（3）答：不存在. …………………………9分                                        

由（2）知DE 取最大值时DE＝    ，              ，         

 ∴DF＝   ，BF=OB-OF=   . 

设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、D、F、B为顶点的四边形是平行四边形

则BP∥DF，BF∥PD. ∴                 或            …………………………10分            

当           时，由（1）知                       

∴P₁不在抛物线上.                                      

当           时，由（1）知                       

∴P₂不在抛物线上.                                       

  综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以P、D、F、B为顶点的四边形是平行

四边形.…………………………12分