Question

14．△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，以AB、BC、AC为边作正方形ABED、BCGK、ACHF，过点C作CL⊥DE交AB于点M，交DE于点L，连接CD、BF．求证：a²+b²=c²．

Answer 1

分析 先判断出点H，C，B在同一条直线上，再求出三角形FAB的面积，从而判断出△FAB≌△CAD即可得出三角形CAD的面积是矩形ADLM的面积的一半，即矩形的面积等于a²，同理得出矩形MLEB的面积等于b²，最后用两个矩形的面积之和等于边长为c的正方形的面积，化简即可．

解答 证明：做三个边长分别以a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示的形状，
连接BF，CD，过点C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L，
∵四边形ACHF是正方形，
∴∠ACH=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACH+∠ACB=180°，
∴H，C，B在同一条直线上，
∴S_△FAB=S_梯形ABHF-S_△BHF=$\frac{1}{2}$a[a+（a+b）]-$\frac{1}{2}$a（a+b）=$\frac{1}{2}$a²，
∵四边形ABED，ACHF是正方形，
∴AF=AC，AB=AD，∠CAF=∠BAD=90°，
∴∠FAB=∠CAD，
在△FAB和△CAD中$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAB=∠CAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△FAB≌△CAD，
∴S_△CAD=S_△FAB=$\frac{1}{2}$a²，
同理：S_△CAD=$\frac{1}{2}$S_矩形ADLM，
∴S_矩形ADLM=a²，
同理：S_矩形MLEB=b²，
∵S_矩形ADLM+S_矩形MLEB=S_{正方形ADEB}，
∴a²+b²=c²．

点评 此题是正方形的性质，主要考查了正方形的性质，面积公式，梯形的面积公式，解本题的关键是得出矩形ADLM面积等于a²．