Question

【题目】对于平面直角坐标系中的任意一点P（a，b），我们定义：当k为常数，且k≠0时，点P′（a+，ka+b）为点P的“k对应点”．

（1）点P（﹣2，1）的“3对应点”P′的坐标为　 　；若点P的“﹣2对应点”P′的坐标为（﹣3，6），且点P的纵坐标为4，则点P的横坐标a＝　 　；

（2）若点P的“k对应点”P′在第一、三象限的角平分线（原点除外）上，求k值；

（3）若点P在x轴的负半轴上，点P的“k对应点”为P′点，且∠OP'P＝30°，求k值．

Answer 1

【答案】（1）（﹣，﹣5），﹣1；（2）k＝1；（3）k＝或﹣．

【解析】

（1）根据点P的“k对应点”的定义列式计算，得到答案；

（2）根据第一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相等计算；

（3）根据点P的“k对应点”的定义表示出P′点的坐标，根据直角三角形的性质、正切的定义计算即可．

解：（1）﹣2+＝﹣，﹣2×3+1＝﹣5，

则点P（﹣2，1）的“3对应点”P′的坐标为（﹣，﹣5），

∵点P的“﹣2对应点”P′的坐标为（﹣3，6），点P的纵坐标为4，

∴﹣2a+4＝6，

解得，a＝﹣1，即点P的横坐标a＝﹣1，

故答案为：（﹣，﹣5）；﹣1；

（2）∵点P′在第一、三象限的角平分线（原点除外）上，

∴a+＝ka+b，

整理得，（ka+b）（1﹣k）＝0，

由题意得，ka+b≠0，

∴1﹣k＝0，

解得，k＝1；

（3）如图

∵点P在x轴的负半轴上，

∴设点P的坐标为（a，0），

则点P的“k对应点”为P′点的坐标为（a，ka），

∴PP′⊥x轴，

∵∠OP'P＝30°，

∴＝tan30°，

∴＝，

解得，k＝±，

则点P在x轴的负半轴上，点P的“k对应点”为P′点，∠OP'P＝30°时，k＝或﹣．