Question

19．已知直线y=2x-k-10和y=-x+2k-25的交点P在第四象限内，如果把交点P向右平移5个单位，再向上平移21个单位后，所得到的点Q恰好在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，若k取所有满足条件的整数，则每个m值的倒数和S为$\frac{7}{60}$．

Answer 1

分析 联立方程，解方程组求得交点坐标，根据点P在第四象限内得出$\left\{\begin{array}{l}{k-5＞0}\\{k-20＜0}\end{array}\right.$，从而得出5＜k＜20，因为k是满足条件的整数，所以k为6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19；．根据点P的坐标求得Q（k，k+1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k（k+1）=m，然后求得k取所有满足条件的整数，每个m值的倒数和S的值．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-k-10}\\{y=-x+2k-25}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=k-5}\\{y=k-20}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（k-5，k-20），
∵点P在第四象限内，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k-5＞0}\\{k-20＜0}\end{array}\right.$，
∴5＜k＜20，
∵k是满足条件的整数，
∴k为6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19；．
∵点P向右平移5个单位，再向上平移21个单位得到Q，
∴Q（k，k+1），
∵点Q在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴k（k+1）=m，
∴k为6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19时，
∴S=$\frac{1}{6×7}$+$\frac{1}{7×8}$+$\frac{1}{8×9}$+…+$\frac{1}{19×20}$=（$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{8}$）+（$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$）+…+（$\frac{1}{19}$-$\frac{1}{20}$）=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{20}$=$\frac{7}{60}$．
故答案为$\frac{7}{60}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解不等式，整数解，以及整数的加法等，整数的简便做法是解题的关键．