Question

已知：抛物线与x轴有两个不同的交点。

（1）求k的取值范围；
（2）当k为整数，且关于x的方程3x=kx-1的解是负数时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若在抛物线和x轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在x轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长。

Answer 1

解：（1）， 依题意，得， ∴k的取值范围是k且k≠1，①； （2）解方程3x=kx-1，得， ∵方程3x=kx-1的解是负数， ∴3-k>0，∴k<3，②， 综合①②，及k为整数，可得k=2， ∴抛物线的解析式为y=x2+4x； （3）如图，设最大正方形ABCD的边长为m， 则B、C两点的纵坐标为-m， 且由对称性可知：B、C两点关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为：x=-2， ∴点C的坐标为， ∵C点在抛物线上， ∴， 整理，得， ∴（舍负）， ∴。