Question

4．如图，在两个直角三角形纸片Rt△ABC和Rt△A₁B₁C₁上可按如图所示方式各剪出一正方体表面展开图，正方体展开图左下角正方形分一组邻边都在直角三角形的两条直角边上，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC=B₁C₁=24cm，则这两个展开图围成的正方体的棱长之比为（　　）

• A． 4：5
• B． 3：5
• C． 3：4
• D． 2：3

Answer 1

分析 首先设这个展开图围成的正方体的棱长为x，可得EG=x，ED=3x，FG=3x，BD=x，CD=BC-BD=24-x，易证得△EFG∽△ECD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得立方体的边长，再设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm，然后延长FE交AC于点D，根据三角函数的性质，可求得AC的长，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答 解：如图1，设这个展开图围成的正方体的棱长为x，
则EG=x，ED=3x，FG=3x，BD=x，
∵BC=24，
∴CD=BC-BD=24-x，
∵FG∥BC，
∴△EFG∽△ECD，
∴$\frac{EG}{ED}$=$\frac{GF}{DC}$，
即$\frac{3x}{24-x}$=$\frac{1}{3}$，
解得：x=2.4，
如图2，设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm，
延长FE交AB于点D，
则EF=2xcm，EG=xcm，DF=4xcm，
∵DF∥BC，
∴∠EFG=∠C，
∵tan∠EFG=$\frac{EG}{EF}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠C=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC=24cm，
∴AB=12cm，
∴AD=AB-BD=12-2x（cm）
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴$\frac{DF}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，
即$\frac{4x}{24}$=$\frac{12-2x}{12}$，
解得：x=3，
即这个展开图围成的正方体的棱长为3cm，
∴这两个展开图围成的正方体的棱长之比为：2.4：3=4：5．
故选：A．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及剪纸问题等知识，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．