Question

15．已知抛物线与y轴交点C的纵坐标为-$\frac{5}{2}$，且过点A（1，-6）和点B（-1，0）．
（1）求该抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）写出点B关于抛物线对称轴的对称点E的坐标，并求出△DEC的面积．

Answer 1

分析 （1）一般式y=ax²+bx+c，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标．
（2）求得直线CE的解析式，进而求得与对称轴的交点，然后根据△DEC的面积等于两个三角形面积的和求得即可．

解答 解：（1）抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{c=-\frac{5}{2}}\\{a+b+c=-6}\\{a-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-3}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-3x-$\frac{5}{2}$．
∵y=-$\frac{1}{2}$x²-3x-$\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x+3）²+2，
∴顶点D的坐标（-3，2）．
（2）∵对称轴为x=-3，B（-1，0）．
∴对称点E的坐标为（-5，0），
设直线EC的解析式为y=kx-$\frac{5}{2}$，
代入E点得，0=-5k-$\frac{5}{2}$，
解得k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线EC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
把x=-3代入得y=-1，
∴直线EC与对称轴的交点为（-3，-1），
∴△DEC的面积=$\frac{1}{2}$×（2+1）×2+$\frac{1}{2}$×（2+1）×3=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．