Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点B（14，0）和C（0，-8），对称轴为x=4．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵图象经过点B（14，0）和C（0，-8），对称轴为x=4，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x²-x-8；

（2）存在直线CD垂直平分PQ．
理由如下：令y=0，则x²-x-8=0，
整理得，x²-8x-84=0，
解得x₁=-6，x₂=14（为点B坐标），
∴点A的坐标为（-6，0），
在Rt△AOC中，AC===10，
∴OD=AD-AO=AC-AO=10-6=4，
∴点D在二次函数的对称轴上，
∵直线CD垂直平分PQ，
∴∠PDC=∠QDC，PD=DQ，
又∵AD=AC，
∴∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC，
∴DQ是△ABC的中位线，
∴DQ=AC=×10=5，
∴AP=AD-PD=AC-DQ=10-5=5，
∵动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，
∴t=5÷1=5，
∴存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分，
此时，在Rt△BOC中，BC===2，
∵DQ是△ABC的中位线，
∴CQ=BC=×2=，
∴点Q的运动速度为每秒单位长度．
分析：（1）把点B、C的坐标代入抛物线解析式，根据对称轴解析式列出关于a、b、c的方程组，求解即可；
（2）根据抛物线解析式求出点A的坐标，再利用勾股定理列式求出AC的长，然后求出OD，可得点D在抛物线对称轴上，根据线段垂直平分线上的性质可得∠PDC=∠QDC，PD=DQ，再根据等边对等角可得∠PDC=∠ACD，从而得到∠QDC=∠ACD，再根据内错角相等，两直线平行可得PQ∥AC，再根据点D在对称轴上判断出DQ是△ABC的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DQ=AC，再求出AP，然后根据时间=路程÷速度求出点P运动的时间t，根据勾股定理求出BC，然后求出CQ，根据速度=路程÷时间，计算即可求出点Q的速度．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理，等边对等角的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，（2）求出DQ∥AC是解题的关键．