Question

2．已知：如图1，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15．将线段AB沿过点A的直线翻折，使得点B的对应点E恰好落在BC边上，折痕与BC边相交于点D，如图2所示．
（1）求线段DE的长；
（2）在图2中，若点P为线段AC上一点，且△AEP为等腰三角形，求AP的长．
小李在解决第（2）小题时的过程如下：
①当EA=EP时，显然不存在；当AE=AP时，则AP=13；（需填空）
②对于“当PA=PE时的情形”，小李在解决时遇到了困难．小明老师对小李说：对于这个“直线型”图形直接解决困难时，我们可以建立平面直角坐标系，用一次函数的知识解决．如以点D为坐标原点，所在直线为x轴，然后求出AE中垂线的直线解析式，然后求出点P的坐标，最后用勾股定理求出AP的长…
请根据小明老师的提示完成第（2）题中②的求解，你也可以用自己的方法求出AP的长．

Answer 1

分析 （1）根据翻折的性质可得BD=DE，可设BD=DE=x，在Rt△ADB中，根据勾股定理可表示出AD²，再在Rt△ADC中，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解；
（2）①根据翻折的性质可得AE=AB=13，从而求解；
②根据待定系数法可求直线AE，AC的解析式，根据中点坐标公式得到线段AE的中点坐标，再根据互相垂直的两条直线的斜率为-1，根据待定系数法求得AE中垂线的直线解析式，联立直线AC的解析式和AE中垂线的直线解析式，得到点P的坐标，最后用勾股定理求出AP的长即可．

解答 解：（1）根据翻折的性质可得BD=DE，
设BD=DE=x，则CD=14-x，
在Rt△ADB中，AD²=13²-x²，
在Rt△ADC中，AD²=15²-（14-x）²，
则13²-x²=15²-（14-x）²，
解得x=5．
故线段DE的长为5； 
（2）①如图2①，AP=AE=AB=13； 
②如图2②，在Rt△ADB中，AD²=13²-5²，则AD=12，
CD=14-5=9，
设直线AE的解析式为y=k₁x+b₁，则$\left\{\begin{array}{l}{5{k}_{1}+{b}_{1}=0}\\{{b}_{1}=12}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{12}{5}}\\{{b}_{1}=12}\end{array}\right.$．
故直线AE的解析式为y=-$\frac{12}{5}$x+12，
设直线AC的解析式为y=k₂x+b₂，则$\left\{\begin{array}{l}{9{k}_{2}+{b}_{2}=0}\\{{b}_{2}=12}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{4}{3}}\\{{b}_{2}=12}\end{array}\right.$．
故直线AC的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+12，
线段AE的中点坐标为（$\frac{5}{2}$，6），
设直线AE中垂线的解析式为y=$\frac{5}{12}$x+b₃，则
6=$\frac{5}{12}$×$\frac{5}{2}$+b₃，
解得b₃=$\frac{119}{24}$，
故直线AE中垂线的解析式为y=$\frac{5}{12}$x+$\frac{119}{24}$，
联立直线AC的解析式和直线AE中垂线的解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+12}\\{y=\frac{5}{12}x+\frac{119}{24}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{169}{42}}\\{y=\frac{418}{63}}\end{array}\right.$，
则P（$\frac{169}{42}$，$\frac{418}{63}$）
则AP=$\sqrt{（0-\frac{169}{42}）^{2}+（12-\frac{418}{63}）^{2}}$=$\frac{845}{126}$．
AP的长为$\frac{845}{126}$．
故答案为：13．

点评 考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：翻折的性质，勾股定理，方程思想，待定系数法求直线的解析式，中点坐标公式，互相垂直的两条直线的斜率为-1，综合性较强，有一定的难度．