问题背景:
如图(a),点A、B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小,我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C,则点C即为所求.
(1)实践运用:
如图(b),已知,⊙O的直径CD为4,点A 在⊙O 上,∠ACD=30°,B 为弧AD 的中点,P为直径CD上一动点,则BP+AP的最小值为 .
(2)知识拓展:
如图(c),在Rt△ABC中,AB=10,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,E、F分别是线段AD和AB上的动点,求BE+EF的最小值,并写出解答过程.
试题分析:(1)找点A或点B关于CD的对称点,再连接其中一点的对称点和另一点,和MN的交点P就是所求作的位置,根据题意先求出∠C′AE,再根据勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值:
如图作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P,此时PA+PB最小,且等于A。作直径AC′,连接C′E,
根据垂径定理得弧BD=弧DE。
∵∠ACD=30°,∴∠AOD=60°,∠DOE=30°。∴∠AOE=90°。
∴∠C′AE=45°。
又AC为圆的直径,∴∠AEC′=90°。
∴∠C′=∠C′AE=45°。∴C′E=AE=AC′=。
∴AP+BP的最小值是。
(2)首先在斜边AC上截取AB′=AB,连接BB′,再过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E,连接BE,则线段B′F的长即为所求。
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