Question

20．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=5，A（0，3），点E在线段AB上以每秒1个单位的速度向B点匀速运动，点D在线段OC上以每秒1个单位的速度向O点匀速运动，点E运动到B点时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）
（1）求B，C两点的坐标；
（2）在整个运动过程中，所形成的四边形AECD是否可能是菱形？若存在，请求出此时AE的长及直线DE的解析式；
（3）连接OE，CE是否存在某一时刻t，使△OCE为等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质和勾股定理求出OC，即可得出结果；
（2）根据题意和菱形的性质、勾股定理得出方程，解方程求出CD，得出AE的长和点E、D的坐标，用待定系数法求出直线DE的解析式即可；
（3）分三种情况：①当OE=OC时；②当OE=CE时；③当CE=OC时；根据勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵A（0，3），AC=5，
∴OC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴B（4，3），C（4，0）；
（2）存在，在整个运动过程中，所形成的四边形AECD可能是菱形，如图1所示：
∵E、D运动速度相同，又是同时出发，
若CD=AE，则四边形AECD为平行四边形，
又若AE=CE时，即CD=CE，?AECD是菱形，
设运动t秒，四边形AECD是菱形，
则CD=t，CE²=BE²+BC²=（4-t）²+3²，
∵CD²=CE²，
∴t²=（4-t）²+9，
解得：t=$\frac{25}{8}$，
∴AE=$\frac{25}{8}$×1=$\frac{25}{8}$，
此时E（$\frac{25}{8}$，3），D（4-$\frac{25}{8}$，0）即（$\frac{7}{8}$，0），
设直线DE的解析式为y=kx+b（k≠0），
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{25}{8}k+b=3}\\{\frac{7}{8}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{7}{6}}\end{array}\right.$，
∴y_DE=$\frac{4}{3}$x-$\frac{7}{6}$；
（3）存在某一时刻t，使△OCE为等腰三角形，如图2所示：
分三种情况：
①当OE=OC时，AE=t，OA=3，OC=4，
则OE²=t²+3²，
∴4²=t²+3²，t²=7，
解得：t=$\sqrt{7}$（s），
∴E（$\sqrt{7}$，3）；
②当OE=CE时，OE²=t²+3²，CE²=（4-t）²+3²，
∴t²+3²=（4-t）²+3²，
解得：t=2（s），
∴E（2，3）；
③当CE=OC时，CE²=（4-t）²+3²，OC=4，
∴4²=（4-t）²+3²，
∴t²-8t+9=0，
解得：t=4±$\sqrt{7}$，
∵点E运动到B点时停止运动，此时用了$\frac{4}{1}$=4（s），
∵4+$\sqrt{7}$＞4，不合题意舍去，
∴t=4-$\sqrt{7}$（s），
∴E（4-$\sqrt{7}$，3）；
综上所述，E点的坐标为（$\sqrt{7}$，3）或（2，3）或（4-$\sqrt{7}$，3）．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、用待定系数法求直线的解析式、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，根据勾股定理得出方程才能得出结果．