Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E．
（1）求∠ABD的度数；
（2）求证：BC=2CD；
（3）如AE=1，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）由于梯形ABCD是等腰梯形，由∠C的度数就可以得到∠ABD的度数；
（2）根据平行线的性质和AD=AB，我们不难得出∠ABD=∠DBC=30°，∠C=60°，由此得到三角形DBC是个直角三角形，而∠DBC=30°，这样我们可得出BC=2CD；
（3）要求梯形ABCD的面积，关键是求BD，CD的长，再直角三角形ABE中，根据AE=1，∠ABD=30°，那么我们可求出BE的长，也就求出了BD的长，进而可以在直角三角形BCD中求出CD的长，然后根据梯形的面积=△ABD的面积+△BDC的面积即可求解．

解答：（1）解：∵AD∥BC，
∴∠2=∠3．
又∵AB=AD，
∴∠1=∠3．
∴∠1=∠2．
∵四边形ABCD是梯形，
AB=DC，∠C=60°，
∴∠1=∠2=30°．
即∠ABD=30°．

（2）证明：∵∠C=60°，∠1=∠2=30°，
∴∠BDC=90°．
∴BC=2CD．

（3）
解：∵AE⊥BD，AE=1，
∴AB=2，BE=

3

．
∴CD=2，BD=2

3

．
∴S_梯形ABCD=

1

2

×2

3

×1+

1

2

×2×2

3

=3

3

．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，通过等腰梯形的性质得出各角的度数是解题的关键．