Question

14．如图，在?ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．
（1）求证：△ABG≌△CDE；
（2）猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；
（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到AB=CD，∠BAG=∠DCE，∠ABG=∠CDE，进而判定△ABG≌△CDE；
（2）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB=90°，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，进而判定四边形EFGH是矩形；
（3）根据含30°角的直角三角形的性质，得到BG=$\frac{1}{2}$AB=3，AG=3$\sqrt{3}$=CE，BF=$\frac{1}{2}$BC=2，CF=2$\sqrt{3}$，进而得出EF和GF的长，可得四边形EFGH的面积．

解答 解：（1）∵GA平分∠BAD，EC平分∠BCD，
∴∠BAG=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠DCB，
∵?ABCD中，∠BAD=∠DCB，AB=CD，
∴∠BAG=∠DCE，
同理可得，∠ABG=∠CDE，
∵在△ABG和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAG=∠DCE}\\{AB=CD}\\{∠ABG=∠CDE}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CDE（ASA）；

（2）四边形EFGH是矩形．
证明：∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，
∴∠GAB=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠GBA=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵?ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠GAB+∠GBA=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠ABC）=90°，
即∠AGB=90°，
同理可得，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，
∴四边形EFGH是矩形；

（3）依题意得，∠BAG=$\frac{1}{2}$∠BAD=30°，
∵AB=6，
∴BG=$\frac{1}{2}$AB=3，AG=3$\sqrt{3}$=CE，
∵BC=4，∠BCF=$\frac{1}{2}$∠BCD=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC=2，CF=2$\sqrt{3}$，
∴EF=3$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，GF=3-2=1，
∴矩形EFGH的面积=EF×GF=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．