Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC延长线一点，且BC＝CD，CE⊥AD于点E．

（1）求证：直线EC为⊙O的切线；

（2）设BE与⊙O交于点F，AF的延长线与EC交于点P，已知∠PCF＝∠CBF，PC＝5，PF＝3．求：cos∠PEF的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）说明OC是△BDA的中位线，利用中位线的性质，得到∠OCE=∠CED=90°，从而得到CE是圆O的切线．

（2）利用直径上的圆周角，得到△PEF是直角三角形，利用角相等，可得到△PEF∽△PEA、△PCF∽△PAC，从而得到PC=PE=5．然后求出cos∠PEF的值．

（1）证明：∵CE⊥AD于点E

∴∠DEC＝90°，

∵BC＝CD，

∴C是BD的中点，

又∵O是AB的中点，

∴OC是△BDA的中位线，

∴OC∥AD，

∴∠OCE＝∠CED＝90°，

∴OC⊥CE，

又∵点C在圆上，

∴CE是圆O的切线；

（2）连接AC，

∵AB是直径，点F在圆上

∴∠AFB＝∠PFE＝90°＝∠CEA，

∵∠EPF＝∠EPA，

∴△PEF∽△PEA，

∴PE2＝PF×PA，

∵∠FBC＝∠PCF＝∠CAF，

又∵∠CPF＝∠CPA，

∴△PCF∽△PAC，

∴PC2＝PF×PA，

∴PE＝PC，

在直角△PEF中，

∴EF＝4，cos∠PEF＝．