Question

12．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC=a，AC-b，AB=c．
【特例探索】
（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2$\sqrt{2}$时，a=2$\sqrt{5}$，b=2$\sqrt{5}$；如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=2$\sqrt{13}$，b=2$\sqrt{7}$；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a²，b²，c²三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；
【拓展应用】
（3）如图4，在?ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2$\sqrt{5}$，AB=3．求AF的长．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得到AP=BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2，根据三角形中位线的性质，得到EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，再由勾股定理得到结果；
（2）连接EF，设∠ABP=α，类比着（1）即可证得结论．
（3）连接AC交EF于H，设BE与AF的交点为P，由点E、G分别是AD，CD的中点，得到EG是△ACD的中位线于是证出BE⊥AC，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC=2$\sqrt{5}$，∠EAH=∠FCH根据E，F分别是AD，BC的中点，得到AE=BF=CF=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{3}$，证出四边形ABFE是平行四边形，证得EH=FH，推出EH，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得即可得到结果．

解答 解解：（1）∵AF⊥BE，∠ABE=45°，
∴AP=BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴∠PFE=∠PEF=45°，
∴PE=PF=1，
在Rt△FPB和Rt△PEA中，
AE=BF=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AC=BC=2$\sqrt{5}$，
∴a=b=2$\sqrt{5}$，
如图2，连接EF，
同理可得：EF=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵EF∥AB，
∴△PEF～△ABP，
∴$\frac{FP}{AP}$，
在Rt△ABP中，
AB=4，∠ABP=30°，
∴AP=2，PB=2$\sqrt{3}$，
∴PF=1，PE=$\sqrt{3}$，
在Rt△APE和Rt△BPF中，
AE=$\sqrt{7}$，BF=$\sqrt{13}$，
∴a=2$\sqrt{13}$，b=2$\sqrt{7}$，
故答案为：2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{13}$，2$\sqrt{7}$；

（2）猜想：a ²，b²，c²三者之间的关系是：a²+b²=5c²，
证明：如图3，连接EF，∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB．且 EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$c．
∴$\frac{PE}{PB}=\frac{PF}{PA}=\frac{1}{2}$
设 PF=m，PE=n 则AP=2m，PB=2n，
在Rt△APB中，（2m）²+（2n）²=c²①
在Rt△APE中，（2m）²+n²=（$\frac{b}{2}$）²  ②
在Rt△BPF中，m²+（2n）²=（$\frac{a}{2}$）²  ③
由①得：m²+n²=$\frac{c^2}{4}$，由②+③得：5（ m²+n²）=$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{4}$，
∴a ²+b²=5 c²；
（3）如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，
∵点E、G分别是AD，CD的中点，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=2$\sqrt{5}$，
∴∠EAH=∠FCH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD，BF=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=BF=CF=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{5}$，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=3，AP=PF，
在△AEH和△CFH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAH=∠FCH}\\{∠AHE=∠FHC}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△CFH，
∴EH=FH，
∴EP，AH分别是△AFE的中线，
由（2）的结论得：AF²+EF²=5AE²，
∴AF²=5（$\sqrt{5}$）²-EF²=16，
∴AF=4．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，注意类比思想在本题中的应用．