Question

已知a是实数，且使a³+3a²+3a+2=0，那么（a+1）¹⁹⁹⁶+（a+1）¹⁹⁹⁷+（a+1）¹⁹⁹⁸的值是

1

．

Answer 1

分析：根据a³+3a²+3a+2=0，把此式化成立方的形式，解得a+1的值即可解答．

解答：解法1：∵a³+3a²+3a+2=0
∴（a+1）³+1=0
∴（a+1）³=-1
∴a+1=-1
∴（a+1）¹⁹⁹⁶+（a+1）¹⁹⁹⁷+（a+1）¹⁹⁹⁸=1+（-1）+1=1．
解法2：∵（a+1）²=a²+2a+1，
即a（a+1）²=a³+2a²+a，
解得：a³=a（a+1）²-2a²-a，
代入到a³+3a²+3a+2=0中得：a（a+1）²+（a+1）²+1=0，
即（a+1）³=-1，开立方得：a+1=-1，解得a=-2，
把a=-2代入得：（a+1）¹⁹⁹⁶+（a+1）¹⁹⁹⁷+（a+1）¹⁹⁹⁸=1+（-1）+1=1．
故答案为1．

点评：本题主要考查立方公式和立方根的知识点，解答本题的突破口是把题干等式化成立方的形式，进而求出a+1，本题难度不是很大．