Question

在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，D在AB延长线上，且∠DCB=∠A，BD：CD=1：2，AE=

4 5

5

，求S_△BCD．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：由条件可证得△BCD∽△CAD，由相似比为1：2可求出AC、BC、AB的长，由等积法可得CE•AB=AC•BC=2，可求出CE的长，在Rt△CDE中求出BD的长，即可求得面积．

解答：解：
∵∠BCD=∠A，∠D=∠D，
∴△BCD∽△CAD，
∴

BD

CD

=

BC

AC

=

CD

AD

=

1

2

，
∴设BC=x，则AC=2x，AB=

5

x，
AC²=AE•AB，即4x²=

4 5

5

×

5

x，
解得x=1，则BC=1，AC=2，AB=

5

，
BE=AB-AE=

5

-

4 5

5

=

5

5

，
利用面积相等可得：CE•AB=AC•BC=2，
∴CE=

2

5

=

2 5

5

，
设BD=y，则CD=2y，
在Rt△CDE中
CD²=CE²+（BE+BD）²，
即4y²=

4

5

+（

5

5

+y）²，解得y=

5

3

（负值舍去），
∴S_△BCD=

1

2

CE•BD=

1

2

×

2 5

5

×

5

3

=

1

3

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，注意等积法的应用．两个三角形高相等，底边成倍数关系，面积也成同样的倍数关系；同理，两个三角形底相等、高成倍数关系、面积也成同样的倍数关系．运用这些性质使题目简便得到解答，就叫做等积法．