Question

9．阅读资料：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由勾股定理得AB²=|x₂-x₁|²+|y₂-y₁|²，所以A，B两点间的距离为AB=$\sqrt{{{（{x_2}-{x_1}）}^2}+{{（{y_2}-{y_1}）}^2}}$．
我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A （x，y）为圆上任意一点，则点A到原点的距离的平方为OA²=|x-0|²+|y-0|²，当⊙O的半径OA为r时，⊙O的方程可写为：x²+y²=r²．
问题拓展：
如果圆心坐标为P （a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为（x-a）²+（y-b）²=r²．
综合应用：
如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．
①证明AB是⊙P的切线；
②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以点Q为圆心，OQ长为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，则有AP=r，根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出⊙P的方程；
综合应用：①由PO=PA，PD⊥OA可得∠OPD=∠APD，从而可证到△POB≌△PAB，则有∠POB=∠PAB．由⊙P与x轴相切于原点O可得∠POB=90°，即可得到∠PAB=90°，由此可得AB是⊙P的切线；
②当点Q在线段BP中点时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QO=QP=BQ=AQ．易证∠OBP=∠POA=30°．由P点坐标可求出OP、OB．过点Q作QH⊥OB于H，易证△BHQ∽△BOP，根据相似三角形的性质可求出QH、BH，进而求出OH，就可得到点Q的坐标，然后运用问题拓展中的结论就可解决问题．

解答 解：问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，
∵P（a，b），半径为r，
∴AP²=（x-a）²+（y-b）²=r²．
故答案为：（x-a）²+（y-b）²=r²；

综合应用：
①∵PO=PA，PD⊥OA，
∴∠OPD=∠APD．

在△POB和△PAB中，$\left\{\begin{array}{l}PO=PA\\∠OPB=∠APB\\ PB=PB\end{array}\right.$，
∴△POB≌△PAB．
∴∠PAB=∠POB=90°．
∴PA⊥AB．
∵PA是半径，PA⊥AB于A，
∴AB是⊙P的切线．
②存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q．
当点Q在线段BP中点时，
∵∠POB=∠PAB=90°，
∴QO=QP=QA=QB．
∴此时点Q到四点O，P，A，B距离都相等．
∵PB⊥OA，∠POB=90°，∠POA=30°，
∴∠PBO=30°．
∴在Rt△POB中，$OB=\sqrt{3}OP=6\sqrt{3}$，PB=2PO=12．
∴B点坐标为$（6\sqrt{3}，0）$．
∵Q是PB中点，P（0，6），B$（6\sqrt{3}，0）$，
∴Q点坐标为$（3\sqrt{3}，3）$．
∵$OQ=\frac{1}{2}PB=6$，
∴以Q为圆心，OQ为半径的⊙Q的方程为${（x-3\sqrt{3}）^2}+{（y-3）^2}=36$．

点评 本题考查了圆的综合知识．用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，得出△BHQ∽△BOP是解题关键．