Question

如图，在正方形ABCD中，AB=2，P是BC边上与B、C不重合的任意一点，DQ⊥AP于点Q
（1）判断△DAQ与△APB是否相似，并说明理由．
（2）当点P在BC上移动时，线段DQ也随之变化，设PA=x，DQ=y，求y与x间的函数关系式，并求出x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，得AD∥BC，∠B=90°，∠DAP=∠APB，根据DQ⊥AP，得∠B=∠AQD，即可证出△DAQ∽△APB；
（2）根据△DAQ∽△APB，得

DQ

AB

=

DA

AP

，再把AB=2，DA=2，PA=x，DQ=y代入得出

y

2

=

2

x

，y=

4

x

．根据点P在BC上移到C点时，PA最长，求出此时PA的长即可得出x的取值范围．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAP=∠APB，
∵DQ⊥AP，
∴∠AQD=90°，
∴∠B=∠AQD，
∴△DAQ∽△APB；

（2）∵△DAQ∽△APB，
∴

DQ

AB

=

DA

AP

，
∵AB=2，
∴DA=2，
∵PA=x，DQ=y，
∴

y

2

=

2

x

，
∴y=

4

x

．
∵点P在BC上移到C点时，PA最长，此时PA=

22+22

=2

2

，
又∵P是BC边上与B、C不重合的任意一点，
∴x的取值范围是；2＜x＜2

2

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、正方形的性质，关键是能根据两三角形相似求出函数关系式．